Auf die richtige Formel gebracht

Spät kommt sie, die Auflösung der Mathe-Aufgabe zum Thema Kopfrechnen. Unser Mathe-Professor Rainer Roos stellte Tricks und Kniffe vor, die das Quadrieren ganzer Zahlen ohne Blatt und Papier ermöglichen. Und erst recht ohne Rechenschieber.

Sie erinnern sich der letzten Aufgabe? Nein, wirklich nicht? Nicht Ihre Schuld, es ist lange her. Wir haben es versemmelt, verschwitzt. Verschwitzt im Wortsinn: Hochsommer, Herbsturlaub, dazu Kommunikationspannen, beruflicher Stress. Wir bitten um Entschuldigung und wir geloben Besserung.

Es ging ums Kopfrechnen, wir berichteten von der kommenden Weltmeisterschaft. Die hat inzwischen in Bielefeld stattgefunden. Sieger wurde der Japaner Yuki Kimura vor einem weiteren Japaner und einer Südkoreanerin. Vierter wurde ein Mathematikstudent aus Jena, Fünfter der 14-jährige Schüler Wenzel Grüß aus Lastrup. Es ging also ums Kopfrechnen, konkret ums Quadrieren ganzer Zahlen. Zuerst wurde in der Aufgabe eine allgemeine Methode vorgestellt, die die meisten Rechenkünstler verwenden.

Ein Beispiel: 83 soll quadriert werden. Das geht dann so: Suche die nächste Zehnerzahl zu 83. Das ist 80, die Differenz ist drei. Dann wird wie in Grafik 1 gerechnet.

Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: Was steckt hinter dieser Rechenmethode? Die Antwort liefert die dritte binomische Formel: (83 - 3) · (83 + 3) + 3{+2} = 83{+2} - 3{+2} + 3{+2} = 83{+2}. Bleibt noch die Frage, warum die nächste Zehnerzahl. Die Antwort: Weil Multiplikationen mit Zehnerzahlen einfach sind. Siehe auch Grafik 2, die berühmten binomischen Formeln.

Nun zur zweiten Frage, es ging um einen Trick, keine allgemeine Methode: Zahlen, die auf 5 enden, lassen sich besonders einfach quadrieren. 115{+2} zum Beispiel geht so: Rechne 11 · (11+1) und hänge 25 an: 13225.

Unsere zweite Bitte, Ihre zweite Aufgabe: Warum funktioniert dies? Bei der Antwort hilft die erste binomische Formel: 115{+2} = (110 + 5){+2} = 110{+2} + 10 · 110 + 25 = 110 · 120 + 25 = (11 · 12) · 100 + 25. Das war's. So geht es immer, das Beispiel ist repräsentativ.

Bei der dritten Frage ging es um Quadrieren von Zahlen zwischen 30 und 70. Dazu wurde eine ganz kuriose Rechnung aufgemacht: Dreh- und Angelpunkt ist dabei die Zahl 25, die Differenzen der zu quadrierenden Zahl zu 50 werden dazu addiert. Wir zeigen die seltsame Rechnung an einem Beispiel: 61{+2} : 61 = 50 + 11. Dann gilt: 61{+2} = 100 (25 + 11) +11{+2} = 3721

Unsere vierte Bitte, Ihre vierte Aufgabe: Warum klappt dies? Die Antwort: Die Zahl sei 50 + x, also x = 11 bei 61 und x = -14 bei 36. Dann gilt: (50 + x){+2} = 2500 + 100x + x{+2} = (25 + x) · 100 + x{+2}. So einfach ist das. Oder etwa doch nicht?

Zum Thema:

Auf einen Blick Aus allen Einsendungen hat die Glücksfee zehn Gewinner gezogen. Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Hallenbad in Tholey, von der Gemeinde gestiftet. Die Gewinner: Bert Zilles (Mandelbachtal), Andreas Brachmann (Scheuern), Walter Neusius (Schmelz), Ingrid Lindemann (Kirkel), Walter Bub, Überherrn), Johannes Darsch (Illingen), Marliese Walter (Hasborn), Birgit Reimsbach (Saarlouis)Carlos Yupanqui (Saarbrücken), Ingrid Wolff-Dietz (St. Wendel).red