Jede Menge Formelwirrwarr

Jede Menge Formelwirrwarr

Quadratisch, praktisch, gut: Ganz viele Hochzahlen spielten in dieser Folge unserer SZ-Aktion eine ausschlaggebende Rolle. Rainer Roos nutzte dafür die rechnerischen Spielereien eines seiner Kollegen.

Sie erinnern sich der letzten Aufgabe? Es ging um einen Rechenkünstler. Sein Spezialgebiet: Quadrieren von Zahlen bis etwa 200 im Kopf. Seine Methode erklärte er an einem Beispiel: 88{+2}: Suche die nächste Zehnerzahl. Die ist 90, Differenz mit 88 ist 2. Daher: 88{+2}=(88+2)·(88-2)+2{+2}=90·86+4=7744.

Daher? Eine Multiplikation, eine Addition, einfacher als mit den ersten beiden binomischen Formeln. {rahkv} Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: Was steckt hinter der Methode? Die Antwort: a{+2} = (a-b)·(a+b)+b2. b wird dabei so gewählt, dass a-b oder a+b eine Zehnerzahl ist. Dann ist die Multiplikation besonders einfach.

Zahlen, die auf 5 enden, konnte er besonders schnell quadrieren: Beispiel: 65{+2}: Die Endziffern sind immer 25, die Vorziffern in diesem Fall 6·(6+1), also 42. Daher: 65{+2}=4225. Allgemein: Die Vorziffer(n) v mit v+1 multiplizieren, dann 25 anhängen. Verblüffend. {rahkv} Unsere zweite Frage, Ihre zweite Aufgabe: Warum klappt dies? Die Antwort: Die Zahl heiße von v5; v ist im Beispiel 6, kann aber auch aus mehreren Ziffern bestehen. (v5){+2}: (10v+5){+2}=100v{+2}+100v+25 =100·v·(v+1)+25. Das ist alles: v·(v+1) ausrechnen, 25 anhängen. Ähnlich kann man Quadrate von Zahlen berechnen, die auf 25 oder 75 enden. Tüfteln Sie ein wenig.

Für Zahlen zwischen 30 und 70 hatte der Rechenkünstler eine besonders raffinierte und schnelle Methode. Er erklärte sie an einem Beispiel: 63{+2}: Bilde die Differenz 63-50: Das ergibt 13. Dann ist 63{+2}=(25+13)·100+13{+2}=3969. {rahkv} Unsere dritte Frage, Ihre dritte Aufgabe: Warum ergibt diese seltsame Rechnung das gesuchte Quadrat? Die Antwort: (50+x){+2} wird mit der ersten binomischen Formel berechnet; im Beispiel war x=13. (50+x){+2}=2500+100x+x{+2}=100·(25+x)+x2. Das war's. Das klappt auch für negative x.

Am Ende seiner Vorstellung überraschte der Rechenkünstler mit einem Trick: Jeder solle zwei Zahlen wählen: Ich wählte 1 und 5.

Die beiden addieren: 6. Dann die 5 zur 6: 11. Und so fort: Immer die Summe der beiden letzten Zahlen, wie bei den Fibonacci-Zahlen. Meine Folge: 1, 5, 6, 11, 17, 28, …Bis wir zehn Zahlen hätten. Die sollten wir addieren. Dann bat er eine Teilnehmerin, ihre 7. Zahl zu nennen. Darauf nannte er die Summe ihrer Zahlen. {rahkv} Unsere Zusatzfrage außer Konkurrenz: Wie hat er dies gemacht und warum funktioniert es? Viele Leser haben das Wie gefunden, wenige das Warum. Das Wie: Multipliziere die siebte Zahl mit 11. Dies ergibt die Summe der zehn Zahlen. Das Warum: a sei die erste Zahl, b die zweite. Wie es dann weiter geht, zeigt die zweite und dritte Spalte der Tabelle.

Die siebte Zahl heißt also 5a+8b. Die Entwicklung der Summen zeigen die Spalten A, B. Die Summe der ersten zehn Zahlen ist 55a+88b, das Elffache von 5a+8b. Schräg!

Mehr über die Tricks der Rechenkünstler können Sie übrigens am Donnerstag, 5. September, bei einem weiteren Vortrag in Tholey erfahren.

Zum Thema:

Auf einen BlickMathe-Asse noch und nöcher haben sich an dieses Rätsel herangetraut. Aus allen richtigen Einsendungen wurden zehn Gewinner gezogen (Rechtsweg ausgeschlossen). Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Tholeyer Hallenbad, gestiftet von der Gemeinde. Die Sieger: Timo Brück (Dirmingen), Bert Zilles (Mandelbachtal), Otmane Papon (Kaiserslautern), Nico Wagner (Michigan/USA), Matthias Beck (Saarbrücken), Peter Fries (Bliesen), Willi Theiß (St. Wendel), Jens Eckstein (Vaterstetten), J. Dörr (Püttlingen), Josef Molitor (Saarlouis). red