Reichten die Finger?
Sie erinnern sich der letzten Aufgabe? Mit den Halbkreisen, dem Prüfungsalbtraum? Es ging um die Gesamtlänge der roten Halbkreise in den Grafiken 1 bis 3. Der Radius des blauen Halbkreises war 1. Die Länge eines Halbkreises ist mal r. Ich hätte es merken müssen. Es kommt immer das Gleiche heraus: Die Summe der Radien der roten Halbkreise ist 1
Sie erinnern sich der letzten Aufgabe? Mit den Halbkreisen, dem Prüfungsalbtraum? Es ging um die Gesamtlänge der roten Halbkreise in den Grafiken 1 bis 3. Der Radius des blauen Halbkreises war 1. Die Länge eines Halbkreises ist mal r. Ich hätte es merken müssen. Es kommt immer das Gleiche heraus: Die Summe der Radien der roten Halbkreise ist 1. Und nur darauf kommt es an: a, b, c, d seien diese Radien. Dann gilt: Gesamtlänge =·a+·b+·c+·d =·(a+b+c+d)=, immer .Der Albtraum ist zu Ende.
Die Zusatzfrage ist schwierig: wiederum das dritte Bild und die gemeine Frage: Wann ist die Gesamtfläche der vier inneren Halbkreise am kleinsten? "Wann" bedeutet: für welche Radien?
Die Fläche eines Halbkreises mit Radius r beträgt /2·r².
Die Summe der vier Halbkreisflächen beträgt daher: /2·a²+/2·b²+/2·c²+/2·d², also: /2·(a²+b²+c²+d²); dabei gilt: a+b+c+d=1.
Die Gesamtfläche ist sicher am größten, wenn ein Radius den Wert 1 hat und alle anderen 0 sind: Dann hat man den blauen Halbkreis. Mehr geht nicht.
Bei einer extrem ungleichen Verteilung der Radien entsteht also eine maximale Fläche. Man kann dann vermuten, dass bei einer Gleichverteilung der Radienlängen, wenn also alle gleich / sind, die kleinste Gesamtfläche entsteht.
Und dies ist in der Tat so. Man kann dies mit Mitteln der höheren Mathematik ("Lagrange-Multiplikatoren") beweisen, es geht aber auch mit Elementarmathematik, allerdings trickreich. Die Idee geht nach meinem Wissen auf den Schweizer Mathematiker Jakob Steiner zurück. Wer mit Mechanik, mit Trägheitsmomenten zu tun hat, kennt ihn. Seine Idee: Falls a+b+c+d=1, dann gilt: a²+b²+c²+d²=(a-/)²+(b-/)²+(c-/)²+(d-/)²+/.
Rechnen Sie es nach. Es stimmt. Wirklich!
Die Summe auf der rechten Seite ist am kleinsten, wenn die vier ersten Summanden alle 0 sind, also alle Radien gleich /. Das war es.
Wir haben viele Einsendungen, viele richtige Einsendungen zu dieser Aufgabe erhalten. Ich danke Ihnen dafür. Mein Prüfungsalbtraum ist damit zu Ende. Es wird nie mehr passieren. Foto: Roos
Foto: wikipedia
Am Rande
Noch zwei Vortragsankündigungen:
- "Mathematik für alle": Am Donnerstag, 9. Februar, findet in Tholey in dieser Reihe ein Vortrag statt: "Einsicht durch Ansicht - Beweise ohne Worte", Bildermathematik. Beweise, Einsichten ohne Worte. Mit Ausflügen in die Kulturgeschichte und mit aktuellen Bezügen.
tholey.de
- "Schönheit und Mathematik": Die Hitparade der schönsten mathematischen Sätze soll während des Vortrags am Mittwoch, 15. Februar, um 19.30 Uhr im Mittelpunkt stehen. Ort: Alte Schmelz in St. Ingbert, Konsumgebäude. Es geht laut Mathe-Prof Rainer Roos um schöne Sätze, schöne Beweise und ganz dialektisch auch um hässliche Mathematik. Um Schönheit durch Mathematik, goldener Schnitt, Symmetrie und solche Sachen. red
alte-schmelz.de
Auf einen Blick
121 SZ-Leser haben sich diesmal beteiligt. Unter den Einsendern waren auch zahlreiche Schüler der Klasse 9a des Gymnasiums Am Stefansberg in Merzig.
Aus allen Einsendungen hat die Glücksfee der SZ-Redaktion zehn Gewinner gezogen (Rechtsweg ausgeschlossen). Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Erlebnisbad Schaumberg in Tholey, gestiftet vom Erlebnisbad und der Gemeinde.
Gewonnen haben: Michael Maier (Völklingen), Norbert Kolling (Püttlingen), Dieter Saar (Saarbrücken), Horst Zimmermann (Ensdorf), Hendrik Haas (Saarbrücken), Nico Wagner (Michigan, USA), Thomas Zeiske (Bous), Peter Möller (Blieskastel), Gisela Fabing (Lebach), Fabian Meyer (Nonnweiler). Herzlichen Glückwunsch sagt die Saarbrücker Zeitung.red
