Unendlich lange Zahlenkolonnen
Eine Primzahl ist eine Zahl, die nur durch eins und sich selbst zu teilen ist. Wie finden wir Zahlen mit unglaublich vielen Stellen, die diese Voraussetzungen erfüllen? Da gibt es ein Forschungsteam für.
Am 23. August 2008 wurde im Projekt Gimps* die bis dahin größte bekannte Primzahl gefunden, eine Mersenne-Primzahl mit fast 13 Millionen Stellen. Die erste mit mehr als zehn Millionen Stellen; dafür gab es eine Belohnung von 100 000 Dollar. Während des nächsten halben Jahres wurden dann zwei weitere Primzahlen dieses Typs mit über zehn Millionen Stellen gefunden. Eine glückliche Zeit für die Primzahlenjäger.
Danach vier lange Jahre nichts. Alle Primzahlen gefunden? Das kann nicht sein, denn es gibt unendlich viele. Alle Mersenne-Primzahlen gefunden? Könnte sein. Mersenne-Zahlen? Wir reden gleich darüber.
Am 25. Januar 2013 dann die Sensation: Gimps verkündet eine neue größte Primzahl, eine Mersenne-Zahl:
2{+5}{+7} {+8}{+8}{+5} {+1}{+6}{+1}-1 ist Primzahl. Das ist eine Zahl mit 17 425 170 Stellen. Ein Riesensprung. {rahkv} Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: Auf eine DIN-A4-Seite passen in 12-Punkt-Schrift (Courier New) 3224 Ziffern. Wie viele Seiten benötigt man zum Ausdruck dieser Zahl?
Diese neue größte Primzahl ist eine Mersenne-Zahl. Das sind Zahlen der Form M(n) = 2{+n}-1, benannt nach dem französischen Mathematiker Marin Mersenne (1588 - 1648), Mersenne war französischer Theologe und Mathematiker, er untersuchte Zahlen der Form 2{+n}-1. Einige Mersenne-Zahlen: M(4)=2{+4}-1=15 M(5)=2{+5}-1=31 M(6)=2{+6}-1=63 M(7)=2{+7}-1=127 M(10)=2{+1}{+0}-1=1023 M(11)= 2{+1}{+1}-1=2047
Mersenne stellte fest: Ist n keine Primzahl, so ist auch M(n) keine Primzahl. {rahkv} Unsere Frage außer Konkurrenz: Warum ist das so? Ein kleiner Tipp: Für jede (natürliche) Zahl x gilt: x-1 teilt x{+n}-1.
Mersenne beobachtete auch: Ist n eine Primzahl, so kann M(n) Primzahl sein oder nicht.
M(7) ist Primzahl, M(11) nicht. {rahkv} Unsere zweite Bitte, Ihre zweite Aufgabe: Finden Sie eine weitere Primzahl n, für die M(n) keine Primzahl ist.
Man kann fragen, warum gerade Mersenne-Zahlen gute Kandidaten für Riesenprimzahlen sind. Warum man solch gigantische Zahlen auf Primalität untersuchen kann.
Ein Grund ist ihre besonders einfache Dualdarstellung, also Darstellung im Zahlensystem mit der Basis 2. {rahkv} Unsere Spezialfrage für informatiknahe Menschen: Wie lautet die Dualdarstellung von M(n)?
Ein weiterer Grund hängt mit den Fibonacci-Zahlen zusammen, genauer gesagt mit einer Verallgemeinerung, den Lucas-Zahlen. Aber das ist kompliziert.
Und der praktische Nutzen des Ganzen? Keiner. Obwohl Primzahlen heute eine entscheidende Rolle bei Verschlüsselung im Internet spielen. Aber das sind Zwerge, verglichen mit der größten bekannten Primzahl. Bei der Verschlüsselung geht es um Primzahlen mit einigen hundert Stellen. Und solche zu finden, ist auch nicht ganz einfach. Obwohl es wirklich viele davon gibt.
Wenn Sie tiefer in das Thema einsteigen wollen, so empfehle ich Ihnen Harald Scheid: Zahlentheorie, Spektrumverlag 2006, und Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen - Geheimnisse und Rekorde, Springer 2011.
Und nun zu Gimps: Great Internet Mersenne Prime Search. Gimps ist ein Gemeinschaftsprojekt zur Suche nach Mersenne-Primzahlen. Dabei wird verteiltes Rechnen im Internet genutzt; dadurch wird die Rechenleistung eines Supercomputers erreicht. Das Projekt besteht seit 1996. Seither sind alle jeweils größten bekannten Primzahlen durch Gimps gefunden worden.
In der Grafik sind dies die roten Punkte. Die Entwicklung der größten bekannten Primzahl: x-Achse: Jahr, y-Achse: Stellenzahl.
Sie können bei Gimps mitmachen. Wenn die nächste Superprimzahl auf Ihrem Computer gefunden wird, werden Sie berühmt werden.
mersenne.org/
Zum Thema:
Auf einen BlickDie Lösung geht an die St. Wendeler Lokalredaktion der Saarbrücker Zeitung. Bis Dienstag, 30. April, muss sie angekommen sein. Wir verlosen zehn Gutscheine zu jeweils zehn Euro für das Schaumbergbad in Tholey. Die Gutscheine stellt die Gemeinde Tholey bereit. Der Rechtsweg ist ausgeschlossen. Die Auflösung erfahren die Leser in der SZ-Ausgabe vom Donnerstag, 2. Mai, oder in einer der folgenden. Adresse und Stichwort: "Primzahl" an Saarbrücker Zeitung, Mia-Münster-Straß 8, 66606 St. Wendel; Fax: (0 68 51) 9 39 69 59; E-Mail: redwnd@sz-sb.de red
