1. Saarland

Von kleinen und großen Unendlichkeiten

Von kleinen und großen Unendlichkeiten

Erinnern Sie sich? Vor vier Wochen gab es einen ersten Blick in das seltsame Reich der unendlichen Mengen. Wir berichteten von der Häuptlingsmethode ("Männer in eine Reihe, dann die Frauen dazu"), mit der es dem Mathematiker Georg Cantor gelang, die Anzahl der Elemente von unendlichen Mengen zu vergleichen

Erinnern Sie sich? Vor vier Wochen gab es einen ersten Blick in das seltsame Reich der unendlichen Mengen. Wir berichteten von der Häuptlingsmethode ("Männer in eine Reihe, dann die Frauen dazu"), mit der es dem Mathematiker Georg Cantor gelang, die Anzahl der Elemente von unendlichen Mengen zu vergleichen. Sein erstes Ergebnis: Die Menge der natürlichen Zahlen N, also der positiven ganzen Zahlen, hat ebenso viele Elemente wie die Menge der ganzen Zahlen Z. Z umfasst alle ganzen Zahlen, die positiven, die negativen und die Null, scheint größer als N. Dennoch: Mit der Häuptlingsmethode wurde unwiderlegbar bewiesen, dass beide Mengen gleich viele Elemente besitzen. Schrecken der Unendlichkeit! Sie waren gewarnt. N und Z gehören also zur gleichen Unendlichkeit, Cantor nannte sie Aleph 0. In der Folge suchte er nach größeren Unendlichkeiten. Erster Kandidat war die Menge Q der rationalen Zahlen. Damit sind alle Brüche gemeint, wie zum Beispiel 2/3, -41/77, 30/6. Im Zähler steht eine ganze Zahl, im Nenner steht eine ganze Zahl (ungleich Null). Alle endlichen Dezimalbrüche gehören zu Q. So ist z.B. 6,43 eine Darstellung des Bruchs 643/100. Q steht im Übrigen für Quotient. Q sollte mehr Elemente als N enthalten, dachte Cantor. Und das aus gutem Grund: Zwischen zwei beliebigen natürlichen Zahlen gibt es nämlich unendlich viele Brüche. Nehmen Sie 1 und 2. Dazwischen liegen: 1,1; 1,2,... 1,9 und 1,01; 1,02;...; 1,99. Und so geht es immer weiter. Allein zwischen 1 und 2 liegen also unendlich viele Brüche. Das sollte also reichen! Natürliche Zahlen, ganze Zahlen liegen auseinander, Brüche liegen dicht, das muss einfach mehr sein. Es ist aber nicht mehr: Cantor konnte wieder mit der Häuptlingsmethode zeigen, dass es ebenso viele Brüche wie natürliche (also ganze) Zahlen gibt. Seine Beweismethode war genial. Es ist nicht nahe liegend, die Männer, hier die ganzen Zahlen, und die Frauen, alle Brüche, so am Strand zu platzieren, dass es aufgeht. Cantor hat dies geschafft, allein dafür gebührt ihm ein Platz in der Ehrenhalle der Mathematik. Wenig später gelang ihm der Nachweis, dass auch die "algebraischen Zahlen", das sind, ins Unreine gesprochen, beliebige Wurzeln aus Brüchen, keiner größeren Unendlichkeit angehören. Thema erledigt? Für Cantor keinesfalls.Er stellte sich die Frage: Gibt es nur diese eine Unendlichkeit? Oder gibt es Stufen der Unendlichkeit, sozusagen kleinere und größere Unendlichkeiten? Alle bis jetzt untersuchten Zahlenmengen gehören derselben Kategorie an, sie haben nicht mehr Elemente als die Menge der natürlichen Zahlen: Aleph 0.Cantors Antwort, mit Hilfe eines genialen Beweises: Die reellen Zahlen, das sind alle Zahlen der Zahlengeraden, gehören einer größeren Unendlichkeit an. Cantor nannte sie Aleph 1. Er fand auch heraus, dass Aleph 0 die kleinste Unendlichkeit ist. Schließlich konnte zeigen, dass es zu jeder Unendlichkeit eine größere gibt, es gibt also keine größte Unendlichkeit. Dieser Nachweis gelang mit Hilfe der "Potenzmenge" einer Menge. Die Potenzmenge enthält immer mehr Elemente als die ursprüngliche Menge. Bei endlichen Mengen ist das einfach: Hat eine Menge zum Beispiel 3 Elemente, so enthält ihre Potenzmenge 2·2·2 = 2 hoch 3 Elemente, also 8. Hat eine Menge 5 Elemente, so enthält ihre Potenzmenge 2·2·2·2·2= 2 hoch 5 Elemente, also 32.Es gelang der Beweis, dass die Potenzmenge einer größeren Unendlichkeit angehört als die ursprüngliche Menge. So wie 8 größer als 3 ist oder 32 größer als 5 ist. Zwischen 5 und 32 liegen viele Zahlen; Cantor fragte sich nun, ob für unendliche Mengen etwas Ähnliches gilt, ob zwischen einer unendlichen Menge und ihrer Potenzmenge weitere Unendlichkeiten lägen. Er vermutete, dass dies nicht der Fall ist, dies ist die berühmte "Kontinuumshypothese", er konnte dies aber trotz enormer Anstrengungen nicht beweisen. Heute ist dieses Problem gelöst, allerdings auf eine vollkommen unerwartete, für Cantor nicht vorstellbare Art: Salopp gesagt, man kann es halten wie man will. 1938 bewies der Österreicher Kurt Gödel, der bedeutendste Logiker des 20. Jahrhunderts, dass die Kontinuumshypothese mit den Mitteln der Mengenlehre nicht widerlegt werden kann, 1963 zeigte der Amerikaner Paul Cohen, dass die Kontinuumshypothese mit den Mitteln der Mengenlehre nicht bewiesen werden kann. Cantors Beweisversuche mussten scheitern. Die Kontinuumshypothese ist unabhängig vom Rest der Mengenlehre. Von 1884 an musste sich Georg Cantor immer wieder in psychiatrische Behandlung begeben, er war manisch-depressiv erkrankt. Er starb im Januar 1918 in einem Sanatorium in Halle, wo er das letzte Jahr seines Lebens verbracht hatte. Kurt Gödel, der die Cantorschen Ideen entscheidend weiter entwickelte, litt in den letzten zwanzig Jahren seines Lebens an Paranoia, er fürchtete, durch Essen vergiftet zu werden. Er starb im Januar 1978 in einer Klinik in Princeton. Er hatte sich buchstäblich zu Tode gehungert. Am Ende wog er weniger als 40 Kilo. Paul Cohen, der dritte Held der Kontinuumshypothese, starb im März 2007 in Stanford. Bis zuletzt hatte er anspruchsvolle mathematische Forschung betrieben.

Auf einen BlickZu einer mathematische Entdeckungsreise lädt Professor Rainer Roos am Donnerstag, 21. August, 19.30 Uhr im Sitzungssaal des Tholeyer Rathauses ein. "In seinem Vortrag "Wo leben die Fraktale" stellt er allen Mathematikinteressierten diese mathematischen Gebilde vor. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Fraktalnahe Strukturen kennt jeder: Blumenkohl, Farne, Schneeflocken, Wolken zeigen diese "verfranzte" Struktur, die sich stets verkleinert wiederholt. Fraktale sind geometrische Objekte, die noch niemand gesehen hat, die niemals ein Mensch sehen wird. Dennoch kann man darüber sprechen, man kann Bilder zeigen.Rainer Roos aus Wiesbach lehrt Mathematik an der Hochschule für Technik in Karlsruhe. Lehrgebiete: Logik, Diskrete Mathematik, Kryptologie und fraktale Geometrie. Er leitete das Projekt "Mathematik für Nichtmathematiker" im Rahmen der Virtuellen Hochschule Baden/Württemberg. Für seine innovativen Ideen und Konzepte in der Hochschullehre zeichnete ihn Baden-Württemberg 1999 mit dem Landeslehrpreis aus. red