Völlig verdreht

Völlig verdreht

Sie erinnern sich der letzten Aufgabe? Gegeben waren zwei Kreise mit gleichem Durchmesser wie in Grafik eins. Der untere Kreis bleibt fest, der obere wird einmal um den unteren gerollt. - Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: Wie oft dreht sich dabei der obere Kreis? Wir haben diese Aufgabe häufig auf Seminaren vorgestellt, die spontane Antwort lautete meistens: einmal! Falsch

Sie erinnern sich der letzten Aufgabe? Gegeben waren zwei Kreise mit gleichem Durchmesser wie in Grafik eins. Der untere Kreis bleibt fest, der obere wird einmal um den unteren gerollt. - Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: Wie oft dreht sich dabei der obere Kreis? Wir haben diese Aufgabe häufig auf Seminaren vorgestellt, die spontane Antwort lautete meistens: einmal! Falsch. Maschinenbauer allerdings gaben stets die richtige Antwort. Sie kannten den Dreh im Wortsinn aus der Vorlesung Maschinenelemente. Man bespricht dort Zahnradgetriebe, Übersetzungsverhältnisse. Sie können die Aufgabe leicht experimentell lösen: Nehmen Sie zwei gleiche Münzen. Halten Sie eine fest, rollen Sie die andere drum herum: Zwei Drehungen.Eine mögliche Erklärung liefert das folgende Gedankenexperiment: Nehmen wir einmal an, der untere Kreis besitzt den Radius 0, schrumpft zu einem Punkt. Das ist in Grafik drei der Punkt K. Rollt man den oberen Kreis um diesen Punkt, so bewegt sich sein Mittelpunkt entlang des schwarzen Kreises, eine Drehung. Das "drum herum" erfordert also eine Drehung. Dazu kommt noch der durch Rollen erzeugte Anteil. Da die beiden Kreise in der ersten Aufgabe den gleichen Radius haben, entsteht dabei eine Drehung. Allgemein gilt bei solchen Fragen: Anzahl der Drehungen =1+Anteil durch Rollen. - Unsere zweite Frage, Ihre zweite Aufgabe: Die gleiche Fragestellung, nur dass der Radius des oberen Kreises halb so groß wie der Radius des unteren ist. Wie in Grafik zwei. Wie oft dreht sich der obere Kreis? In diesem Fall ist der Anteil durch Rollen 2, da der obere Kreis den halben Radius des unteren besitzt: Anzahl der Drehungen=1+2=3. - Unsere Zusatzfrage, außerhalb jeder Konkurrenz: Gleiche Situation, nur dass der Radius des oberen Kreises ein Drittel des Radius des unteren beträgt. Oder ein Viertel, ein Fünftel, . . . Die Antwort ist einfach, mit der Gleichung: Anzahl der Drehungen=1+Anteil durch Rollen.

Beträgt der Radius des oberen Kreises ein n-tel des unteren, gilt: Anzahl der Drehungen=1+n. - Und die zweite Zusatzfrage: Welchen Radius müsste der obere Kreis besitzen, damit bei einem Umlauf eine Drehung entsteht? Oder geht dies nicht? Es geht nicht: Anzahl der Drehungen =1+Anteil durch Rollen. Die Zahl ist stets größer als 1.

Übrigens: Es gab auch ganz andere Lösungsvorschläge mit dem gleichen Ergebnis. Praktische mit Märklinbaukasten und Papierkonstrukten, topologische mit Verformungen, differenzialgeometrische mit beeindruckenden Formeln. Ich bin sehr beeindruckt.Foto: privat

"Es gab auch ganz andere Lösungs-

vorschläge mit dem gleichen Ergebnis."

Rainer Roos

zur Vielfalt

der eingesandten Lösungen

Auf einen Blick

Über 50 SZ-Leser haben sich diesmal beteiligt. Viele hatten auch die Zusatzfragen richtig beantwortet. Es gingen Zeichnungen, mathematische Formeln, Computergrafiken und Tabellenkolonnen ein. Die Knobler gaben sich jede Menge Mühe. Auch in Übersee, in den USA.

Aus den Einsendungen zog die Glücksfee der SZ-Redaktion zehn Gewinner (Rechtsweg ausgeschlossen). Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Erlebnisbad Schaumberg in Tholey, gestiftet vom Erlebnisbad und der Gemeinde.

Gewonnen haben: Sophia Mohr (München), Marcus Guldner (Überherrn) Ingrid Fett (Saarlouis), Nico Wagner (Michigan/USA), Michael Maier (Völklingen), Edmund Kiefer (Schmelz), Bert Zilles (Mandelbachtal), Eberhard Müller (Niederlinxweiler), Manfred Klever (Saarbrücken), Klaus Peter Kellner (Püttlingen). Herzlichen Glückwunsch sagt die Saarbrücker Zeitung. red