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Lösung gesucht
Alles Zufall, oder wie wahrscheinlich ist das ?

Mathe-Professor Rainer Roos hat Spaß an Mathe.
Mathe-Professor Rainer Roos hat Spaß an Mathe. FOTO: Rainer Roos
Homburg. Jeder kennt es vom Mensch-ärgere-dich-nicht-Spiel. Wenn man eine Sechs braucht, würfelt man sie nicht. Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu würfeln, so hoch wie eine Eins zu haben. Oder nicht?

Manche sagen, es gäbe sie gar nicht. Die Regel 39 von Gibbs (aus der Serie Navy CIS) lautet: Es gibt keinen Zufall. Wenn es keinen Zufall gibt, dann gibt es auch keine Wahrscheinlichkeit, und um die geht es hier. Der italienische Wahrscheinlichkeitstheoretiker Bruno de Finetti meinte: „Meine These lautet, paradoxerweise und ein wenig provokativ, aber ehrlich gemeint: Wahrscheinlichkeit existiert nicht.“ Da staunt man, die Aussage von Gibbs kann man noch hinnehmen, er ist ein Kommisskopf und hat keine Ahnung von Mathe, aber de Finetti, ein anerkannter Mathematiker?


Natürlich gibt es Zufall, gibt es Wahrscheinlichkeit. Denken Sie an das einfachste Zufallsexperiment, Münzwurf, Kopf oder Zahl. Bei einer idealen Münze kann niemand das Ergebnis vorhersagen. Die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und Zahl sind jeweils ½.

Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe, bezieht sich auf Münzwurf: Acht Mal Kopf oder Zahl, das Experiment wurde drei Mal durchgeführt mit unterschiedlichen Ergebnissen:

1.      Versuch: K,K,Z,K,Z,K,K,Z

2.      Versuch: Z,K,Z,K,Z,K,Z,K



3.      Versuch: K,K,K,K,K,K,K,K

Welches dieser drei Ergebnisse halten Sie für das wahrscheinlichste?

Beim Würfeln mit einem idealen Würfel hat jede der sechs Zahlen die gleichen Chancen, jeweils 1/6.

Würfelt man mit zwei Würfeln, hat jede Zweierkombination der sechs Zahlen die gleichen Chancen. Betrachtet man die Summe der Augenzahlen, so kann sie die Werte 2, 3, 4 ,…,10, 11, 12 annehmen.

Die Summen 9 oder 10 können jeweils auf zwei Arten entstehen: 9 = 6+3 = 5+4 und 10 = 6+4=5+5. Würfelt man drei Mal, so können die Summenwerte 9 und die 10 auf jeweils 6 Arten entstehen, prüfen Sie es bitte nach. Beide Summen können also jeweils auf gleich viele Arten entstehen. Dennoch ist beim Würfeln mit zwei Würfeln die 9 wahrscheinlicher als die 10 und beim Würfeln mit drei Würfeln ist es gerade umgekehrt.

 Sind Sie erstaunt, verwirrt? Wahrscheinlich. Dennoch: Unsere zweite Bitte, Ihre zweite Aufgabe: Erklären Sie das Phänomen. Ganz nebenbei: Der große Gottfried Leibniz konnte es nicht. Ein kleiner Tipp: Unser Bild zeigt nicht alle Möglichkeiten, die 10 zu erzeugen.

Unsere dritte Bitte, Ihre dritte Aufgabe, ist ein wenig komplizierter, eine Aufgabe außer Konkurrenz:

In einem Säckchen sind drei Münzen. Eine ist eine ganz normale 1-Euro-Münze, auf der eine Seite die Zahl, auf der anderen Seite das Wappen. Die anderen beiden Münzen sind alles andere als normal: Die eine enthält auf beiden Seiten das Wappen, die andere auf beiden Seiten die Zahl. Eine der drei Münzen wird zufällig ausgewählt und geworfen. Oben liegt die Zahl. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unten das Wappen befindet?

Die Würfel würfeln, bis die Würfel vor den Augen verschwimmen. Diesen Eindruck könnte dieses Symbolbild vermitteln, passend zur jüngsten Mathe-Aufgabe.
Die Würfel würfeln, bis die Würfel vor den Augen verschwimmen. Diesen Eindruck könnte dieses Symbolbild vermitteln, passend zur jüngsten Mathe-Aufgabe. FOTO: Bernd Thissen / picture-alliance/ dpa
Zwei Mal ist hier die Summe der Augenzahlen gleich 10.
Zwei Mal ist hier die Summe der Augenzahlen gleich 10. FOTO: Rainer Roos