Sie erinnern sich der letzten Aufgaben? Es ging um eine bemerkenswerte Beobachtung des Mathematiklehrers Alfred Moessner aus Gunzenhausen, die der bekannte Mathematiker Oskar Perron 1951 der bayrischen Akademie der Wissenschaften vorlegte. Es ging um die Tabellen in unserer Grafik: Die magischen Tabellen. Bei der ersten Tabelle stehen in der ersten Reihe die natürlichen Zahlen. Jede zweite Zahl wird gestrichen. In der zweiten Zeile stehen die kumulierten Summen der verbleibenden Zahlen: 1, 1+3, 1+3+5,… also, 1, 4, 9, 16.

Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: Was sind das für Zahlen? Die Antwort: Sie haben es sicher erraten, es handelt sich um die Quadratzahlen, also 1{+2}, 2{+2}, 3{+2}, 4{+2}, …

Bei der zweiten Tabelle war es komplizierter: In der ersten Zeile stehen wieder die natürlichen Zahlen. Jetzt wird jede dritte Zahl gestrichen. In der zweiten Zeile stehen die kumulierten Summen der verbleibenden Zahlen. Es entstehen Blöcke, die letzten Zahlen eines jeden Blockes werden gestrichen. In der dritten Zeile stehen dann wieder Summenhäufigkeiten: 1, 1+7, 1+7+19, …Es ergibt sich die Folge 1, 8, 27, 64, 125, 256, … Unsere zweite Frage, Ihre zweite Aufgabe: Wiederum: Was sind das für Zahlen? Die Antwort: Es sind die Kubikzahlen, die dritten Potenzen: 1{+3}, 2{+3} 3{+3} 4{+3}, 5{+3}, ….

So geht es weiter: Streicht man jede vierte Zahl zu Beginn und verfährt analog, so erhält man die vierten Potenzen, streicht man jede fünfte Zahl zu Beginn, so erhält man die fünften Potenzen. Und so fort. Heute heißt dieser Sachverhalt Satz von Moessner. Dieser Satz wurde nie von seinem Entdecker bewiesen, der erste Beweis geht auf Oskar Perron zurück.

Schnell gab es Verallgemeinerungen, andere Streichmuster. Eine der ersten ist in Tabelle 3 angegeben, sie geht auf Ivan Paasche zurück: In der ersten Zeile werden die Dreieckszahlen gestrichen, also die Zahlen, 1, 1+2, 1+2+3, …, also 1,3, 6, 10, 15, … ansonsten wie vorher. Es entstehen dann die Zahlen 1, 2, 6, 24, 120, 720, ….

Unsere dritte Frage, Ihre dritte Aufgabe: Wie lautet das Bildungsgesetz dieser Zahlen?

Die Antwort:

1 = 1

2 = 1·2

6 = 1·2·3

24 = 1·2·3·4

Dies ist die Folge der Fakultäten . Dabei bedeutet zum Beispiel die Fakultät von 5 das Produkt der ersten 5 natürlichen Zahlen, also 1·2·3·4·5,das macht insgesamt 120. Fakultäten treten sehr häufig in der Mathematik auf, daher haben sie ein eigenes Symbol, ein Ausrufungszeichen: 7!, gelesen "7 Fakultät", bedeutet also 1·2·3·4·5·6·7.

Falls Sie noch nicht genug haben von diesen seltsamen Folgen, dann experimentieren Sie mit anderen Streichmustern, zum Beispiel den Quadratzahlen oder kumulierten Dreieckszahlen in der ersten Reihe der Schemata. Sie werden überrascht sein.

Zum Thema:

Auf einen BlickAus allen Einsendungen hat die Glücksfee zehn Gewinner gezogen. Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Erlebnisbad Tholey, zur Verfügung gestellt von der Gemeinde und dem Freizeitbad Tholey.Die Gewinner: Timo Brück aus Dirmingen, Emma Birnbach aus Rehlingen, Bernhard Aue aus Saarbrücken, Katharina Hilker aus Schmelz, Nikolaus Petry aus Wemmetsweiler, Christoph Schröder aus Nohfelden, Gerd Hoffmann aus Marpingen, Hans-Walter Bronder aus Schiffweiler,Christiane Teucke aus Kirkel, Dieter Saar aus Saarbrücken. Herzlichen Glückwunsch. red