Kurze Wege gesucht und gefunden
St Wendel · Ins Schuhgeschäft, in den Supermarkt, zur Bank und dann noch in die Apotheke. Wie kann ich diese Geschäfte vom Parkplatz aus auf dem kürzesten Weg erledigen? Eine alltägliche Frage, die man auch mathematisch lösen kann. Das zeigt die Auflösung der jüngsten Mathe-Aufgabe von Rainer Roos.
Sie erinnern sich unserer letzten Aufgabe? Es ging um Standortprobleme, um Probleme des folgenden Typs: Gegeben ist eine Anzahl von Punkten. Finden Sie einen Punkt F mit folgender Eigenschaft: Die Summe der Entfernungen von F zu den Punkten ist minimal. Wie in Bild 1: Ein Standortproblem: Gesucht ist F mit a+b+c+d+e ist minimal.
Die erste Aufgabe war einfach: Gegeben sind zwei Punkte. Finden Sie alle Punkte F, so dass die Summe der Entfernungen zu diesen beiden Punkten minimal ist. Die Lösung, siehe Bild 2: A und B seien die gegebenen Punkte, ihr Abstand sei c. Für jeden Punkt F der Verbindungsstrecke AB ist die Summe der Abstände zu A und B gleich c. Für alle anderen Punkte P ist diese Summe größer. Das ist die berühmte Dreiecksungleichung: a + b > c. Jeder Punkt der Strecke AB ist also eine Lösung.
Bei der zweiten Aufgabe ging es um 5 Punkte, die auf einer Geraden liegen, wie in Bild 3: Finden Sie alle Punkte F, so dass die Summe der Entfernungen zu diesen Punkten minimal ist. Die Lösung: C ist der optimale Punkt, ganz egal wie groß die Abstände der Punkte voneinander sind, es kommt nur auf die Reihenfolge an.
Wir hatten das Problem schon einmal im Juni 2012 in einem anderen Zusammenhang untersucht. Es geht dabei um die "Minimaleigenschaft des Medians", Sie können das bei Wikipedia nachlesen.
Bei unserer dritten Aufgabe ging es um vier Punkte, die ein ganz normales Viereck bilden, ohne Ausbeulung nach innen, wie im vierten Bild 4: Das Vierecksproblem. Dann ist der Schnittpunkt der Diagonalen der gesuchte Punkt F.
Unsere dritte Bitte, Ihre dritte Aufgabe: Begründen Sie dies. Die Lösung: Für jeden Punkt P ungleich F ist wegen der Dreiecksungleichung die Summe der Entfernungen zu den Ecken größer als von F aus. Oder anders gesagt: F muss auf AC liegen, damit die Summe der Entfernungen zu A und C möglichst klein wird und F muss auf BD liegen, um die Abstände zu B und D zu minimieren. Und die Frage außer Konkurrenz, unsere vierte Frage: Wo ist der optimale Standort, wenn das Viereck nach innen ausgebeult ist, wie in Bild 5, ein schwieriger Fall? Die Lösung: C ist der optimale Punkt. Man kann dies mit Hilfe der Dreiecksungleichung zeigen.
Es ist ganz erstaunlich. Dreiecke sind ja irgendwie einfacher als Vierecke. Dennoch: Für Dreiecke, also für drei Punkte, ist die Lösung der entsprechenden Aufgabe anspruchsvoll. Für den Fall, dass alle Dreieckswinkel kleiner als 120 Grad sind, geht sie auf den berühmten französischen Mathematiker Pierre de Fermat zurück.
Am Ende noch ein Veranstaltungshinweis: Am Mittwoch, 15. Oktober, gibt es in Eppelborn einen mathematischen Vortrag: "Ansichten und Einsichten, Bilder und Mathematik". Ort: Koßmannforum, Zeit: 19.30 Uhr. Näheres finden Sie auf der Homepage der Gemeinde Eppelborn.
Zum Thema:
Auf einen Blick21 SZ-Leser haben sich an der jüngsten Mathe-Aufgabe von Rainer Roos beteiligt. Aus allen Einsendungen hat die Glücksfee zehn Gewinner gezogen. Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Erlebnisbad Schaumberg in Tholey, gestiftet vom Erlebnisbad und der Gemeinde. Gewonnen haben: Sandra Ludwig aus Namborn, Phoebe Mohr aus Saarbrücken, Dieter Saar aus Saarbrücken, Norbert Schmidt aus Wallerfangen, Fred Eisenbrand aus Saarbrücken, Christoph Schröder aus Nohfelden, Roman Zeyer aus Ottweiler, Manfred Müller-Späth aus Ahrensburg , Sophia Mohr aus Nürnberg und Anna-Maria Maurer aus Neunkirchen. vf
