Dann dreiecken wir mal los

Auch 2016 will die Saarbrücker Zeitung mit ihrem Mathe-Prof Rainer Roos die Freude an der Mathematik wecken. Die erste Aufgabe in diesem Jahr hat es wahrlich in sich.

Das Ding hat ihm am Anfang viel Ärger eingebracht: Einige nannten es Monster, andere wollten es verbieten. Nur wenige erkannten seine Bedeutung. Heute ist es berühmt, es gilt als das erste Fraktal. Das Ding ist ein geometrisches Objekt, nennen wir es C. Es ist ein Teil der Zahlengeraden, seine Konstruktion ist recht einfach. Orientieren Sie sich an Grafik 1.

Starten Sie mit dem Intervall [0,1], das sind alle Zahlen zwischen 0 und 1, die Grenzen eingeschlossen. Nehmen Sie das mittlere Drittel heraus, also alle Zahlen > 1/3 und < 2/3. Es bleiben zwei Teilintervalle der Länge 1/3. Löschen Sie in beiden jeweils das mittlere Drittel. In dieser Weise geht es weiter. Allerdings brauchen Sie etwas Zeit, denn Sie müssen das Ganze unendlich oft tun. Das Endprodukt ist dann das Objekt C.

In der ersten Grafik sind die ersten vier Schritte des Verfahrens dargestellt, der Deutlichkeit halber haben wir an Stelle von Strecken Balken benutzt.

Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: Wie groß ist die Gesamtlänge der Teilstrecken nach dem 1., 2., 3., 4., … Schritt?

Und gleich unsere zweite Frage, Ihre zweite Aufgabe: Wie groß ist die Gesamtlänge von C?

Sie werden es bemerkt haben: Nach unendlich vielen Schritten bleibt von dem Ausgangsintervall nicht mehr allzu viel übrig; der berühmte Fraktalforscher Benoit Mandelbrot nannte das Endprodukt Staub. Dennoch: Der Staub enthält immer noch unendlich viele Zahlen, aber keine Strecke.

Ihre dritte Aufgabe: Begründen Sie dies.

Wie schon gesagt, die Menge C hat ihrem Schöpfer auch Verdruss eingebracht. Denn C hat ziemlich verrückte Eigenschaften. So konnte ihr Schöpfer beweisen, dass C, obwohl doch nur Staub, ebenso viele Punkte enthält wie das Ausgangsintervall [0,1]. Dies ist schräg, widerspricht jeder Intuition.

Wir fragen ganz nebenbei und außer Konkurrenz: Wer war der geniale Schöpfer von C?

C lebt auf der Zahlengeraden. Ähnliche Mengen kann man auch in der Ebene und im Raum definieren. Sehr bekannt ist das Sierpinski-Dreieck S, benannt nach seinem Erfinder, dem polnischen Mathematiker Waclaw Sierpinski: Ausgangspunkt ist ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge a. Dieses Dreieck wird in vier gleichseitige Dreiecke zerlegt, das mittlere Dreieck wird entfernt. Es bleiben drei Dreiecke, aus denen dann jeweils das mittlere Dreieck entfernt wird. Und so geht es weiter, immer weiter, unendlich oft. Das Endprodukt ist S. In der zweiten Grafik sehen Sie die ersten drei Schritte zur Konstruktion von S.

Unsere vierte Frage, Ihre vierte Aufgabe: Wie groß ist die Gesamtfläche der schwarzen Dreiecke nach dem 1., 2., 3., 4., … Schritt, und wie groß ist die Gesamtfläche von S?

Und falls Sie noch nicht genug haben: Wie groß ist die Gesamtlänge der Ränder der schwarzen Dreiecke nach dem 1., 2., 3., 4., … Schritt, und wie groß ist der "Rand" von S?

Mehr über C und S und den Erfinder von C erfahren Sie bei der Auflösung der ersten Aufgabe dieses Jahres.

Zum Thema:

Auf einen BlickDie Lösung muss bis Donnerstag, 21. Januar, ankommen. Wir verlosen (Rechtsweg ausgeschlossen) zehn Gutscheine fürs Schaumbergbad in Tholey. Die Auflösung steht in der SZ vom Freitag, 22. Januar, oder in einer der folgenden.Adresse und Stichwort: Saarbrücker Zeitung , Mia-Münster-Straße 8, 66606 St. Wendel ; E-Mail: redwnd@sz-sb.de. Stichwort: Dreieck. Wichtig: Anschrift nicht vergessen. red