Die Zahl 100 bleibt zu 100 Prozent außen vor
In der jüngsten Aufgabe von Rainer Roos ging es um die Zahlen 0 bis 9. Die Mathe-Fans sollten diese Zahlen so kombinieren, dass am Schluss die Summe 100 rauskommt. Geht nicht. Warum nicht, das erklärt der Mathe-Professor heute.
Sie erinnern sich der letzten Aufgabe? Jener Aufgabe von Georg Polya aus seiner berühmten "Schule des Denkens": "Schreibe die Zahlen auf in der Weise, dass jede der Ziffern 0, 1, 2, 3, …, 8, 9 genau einmal vorkommt und die Summe gleich 100 ist."
Dreistellige Zahlen können nicht vorkommen, also haben wir uns auf Zahlen mit höchstens zwei Stellen beschränkt.
Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: "Wie heißt unter diesen Bedingungen die größte mögliche Summe"? Und welche Arrangements liefern diese Summe?
Die Lösung: Die maximale Summe entsteht durch Addition von 5 zweistelligen Zahlen. Dabei sollen die Zehnerstellen möglichst groß sein, es müssen also die Ziffern 5,6,7,8,9 vorkommen. Die Zuordnung der Einerstellen ist egal.
Ein maximales Arrangement ist zum Beispiel 54, 63, 72, 81, 90. Die maximale Summe beträgt 360.
Die zweite Aufgabe: Zeigen Sie, dass alle Summen durch 9 teilbar sind. Wir stellen Ihnen zwei Lösungen vor:
Beweis 1: S sei die Summe. Alle zehn Ziffern addiert ergeben 45. Die Summe der Zehnerziffern heiße z. Die Summe der Einerziffern ist dann 45 - z. Dann gilt: S = 10z + (45 - z). Also S = 9z + 45, und diese Zahl ist durch 9 teilbar.
Beweis 2: Ganz einfach mit der Neunerprobe: Die Quersumme aller Zahlen ist 45. Und 45 ist durch 9 teilbar, also auch die Summe. Damit ist auch gezeigt: Die Summe 100 ist nicht möglich, Polyas Aufgabe ist unlösbar.
Die Zusatzfrage außer Konkurrenz: Welche Zahlen kommen als Summen vor? Die Antwort: Jede Summe S ist von der Form 9z + 45, wobei z die Summe der Zehnerziffern ist. Es kann höchstens 5 zweistellige Summanden geben, also höchstens 5 Zehnerziffern. z ist daher die Summe von höchstens 5 der 10 Ziffern. Auf diese Weise erhält man für z alle Zahlen zwischen 0 und 35. Mögliche Werte für S sind daher alle durch 9 teilbaren Zahlen zwischen 45 und 360, die Grenzen eingeschlossen. Andere Argumentationen sind möglich.
Richtig spannend wird die Zusatzfrage, wenn man auch drei- und höherstellige Zahlen zulässt. Die Muster werden komplizierter. Etwas für lange Winterabende. Das kommt ja bald.
Am Ende für Freunde schöner Mathematik noch ein Lesetipp meinerseits: Bei Springer ist im Juli endlich Alsinas und Nelsons "Bezaubernde Beweise" erschienen. Ein wunderbares Buch, nur vergleichbar mit dem berühmten "Buch der Beweise". Schöne Mathematik, die man fast ohne Vorkenntnisse genießen kann.
Zum Thema:
Auf einen Blick37 SZ-Leser haben sich an der jüngsten Mathe-Aufgabe von Rainer Roos beteiligt. Manche Mathe-Freunde haben kurz und knapp geantwortet, andere ganz ausführlich. Und einige haben ihre Schreiben mit Anmerkungen versehen. So schreibt Gerd Müller aus Hasborn humorvoll zur Aufgabenstellung: "Also mal wieder die Wahl zwischen Lösung mit Geduld (seitenweise Zahlenkolonnen) oder Spucke (mit Gewalt und Geistesblitz)." Aus allen Einsendungen hat die Glücksfee zehn Gewinner gezogen. Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Erlebnisbad Schaumberg in Tholey, gestiftet vom Erlebnisbad und der Gemeinde. Gewonnen haben: Thomas Zeiske aus Bous, Annika Roth aus Homburg, Norbert Schmidt aus Wallerfangen, Birgit Reimsbach aus Saarlouis, Moritz Scherrmann aus Beckingen-Reimsbach, Jürgen Fabing aus Lebach, Jürgen Jung aus Merzig, Markus Bock aus Wadern, Rudolf Zimmermann aus Neunkirchen, Marliese Walter aus Hasborn. vf
