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Matheaufgabe
Schnell die falschen Schlüsse gezogen

Professor Rainer Roos macht Mathe großen Spaß.
Professor Rainer Roos macht Mathe großen Spaß. FOTO: Rainer Roos
Homburg. In der jüngsten Mathe-Aufgabe von Rainer Roos ging es um Wahrscheinlichkeitsrechnung

Sie erinnern sich unserer letzten Aufgaben? Es ging um Wahrscheinlichkeitsrechnung; dies ist eine anspruchsvolle Disziplin, voller Überraschungen, man zieht ganz schnell die falschen Schlüsse. Haben Sie dies bemerkt?


Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe, bezog sich auf Münzwurf: Achtmal Kopf oder Zahl, das Experiment wurde dreimal durchgeführt mit unterschiedlichen Ergebnissen:

1. Versuch: K,K,Z,K,Z,K,K,Z

2. Versuch: Z,K,Z,K,Z,K,Z,K

3. Versuch: K,K,K,K,K,K,K,K



Welches dieser drei Ergebnisse halten Sie für das wahrscheinlichste?

Eine Suggestivfrage. Das Ergebnis im dritten Versuch scheint ganz klar das am wenigsten wahrscheinliche, dann kommt das aus dem zweiten Versuch. Solche regelmäßigen Folgen sind sehr selten.

So ist es aber nicht. Alle drei Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich. Münzen haben kein Gedächtnis, nach jedem Wurf geht es von vorne los, mit der Wahrscheinlichkeit ½ für jede Seite. Jedes Ergebnis von acht Würfen hat die gleiche Wahrscheinlichkeit ½ ∙½ ∙½ ∙½ ∙½ ∙½ ∙½ ∙½ , knapp vier Promille.

 Bei der zweiten Aufgabe ging es ums Würfeln, mit zwei oder drei Würfeln. Wir lösen hier nur die Aufgabe mit zwei Würfeln, die Aufgabe mit drei Würfeln geht analog:

Betrachtet man die Summe der Augenzahlen, so kann sie die Werte 2, 3, 4, …, 10, 11, 12 annehmen.

Die Summen 9 oder 10 können jeweils auf zwei Arten entstehen:

9 = 6+3 = 5+4 und 10 = 6+4 = 5+5. Beide Summen können also jeweils auf gleich viele Arten entstehen. Dennoch ist beim Würfeln mit zwei Würfeln die 9 wahrscheinlicher als die 10. Die Lösung dieses scheinbaren Paradoxons: Die Summen entstehen nicht auf gleich viele Arten: Der eine Würfel sei rot, der andere grün. Wir notieren die Ergebnisse als Zahlenpaare, rot zuerst. Die Augensumme 9 wird dann von den Paaren (3,6), (6,3), (5,4), (4,5), die 10 von (6,4), (4,6), (5,5) erreicht. Da alle Paare gleichwahrscheinlich sind, ist die Augensumme 9 wahrscheinlicher als die 10.

Die dritte Aufgabe ist ein Klassiker, sie findet sich in vielen Lehrbüchern: In einem Säckchen sind drei Münzen. Eine ist eine ganz normale 1-Euromünze, auf der eine Seite die Zahl, auf der anderen Seite das Wappen. Eine hat auf beiden Seiten Zahl, die dritte auf beiden Seiten Wappen. Eine der drei Münzen wird zufällig ausgewählt und geworfen. Oben liegt die Zahl. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unten das Wappen befindet?

Die Antwort scheint klar zu sein: Es handelt es sich entweder um die Münze mit der Zahl auf beiden Seiten oder um die Münze mit Zahl und Wappen. Beide haben die gleichen Chancen gezogen zu werden, also ist die Wahrscheinlichkeit für Wappen unten gleich ½.

Leider falsch! Man weiß ja mehr. Die Zahl liegt oben. Dies kann auf drei Arten geschehen, die gleichwahrscheinlich sind: Zahl auf der normalen Münze, eine Seite der Münze mit zwei Zahlen, die andere Seite dieser Münze. Nur eine dieser drei Situationen hat auf der Rückseite das Wappen, also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit ein  Drittel.

 Wenn Sie tiefer in die spannende Wahrscheinlichkeitstheorie eindringen wollen, so empfehle ich Ihnen als Einstiegslektüre Gero von Randows „Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten“ Es ist als rororo-Taschenbuch erschienen und kostet 9,99 Euro.

Mich irritiert immer noch Bertrand Russells Aussage aus dem Jahre 1929: „Wahrscheinlichkeit ist das wichtigste Konzept der modernen Naturwissenschaften, vor allem, weil niemand die geringste Ahnung hat, was sie bedeutet“. Ich befürchte, er hat Recht.

Welche Augenzahl kommt beim Würfeln  am häufigsten vor? Über diese Frage lässt sich wahrlich knobeln. Auch beim Würfeln.
Welche Augenzahl kommt beim Würfeln am häufigsten vor? Über diese Frage lässt sich wahrlich knobeln. Auch beim Würfeln. FOTO: Bernd Thissen / picture-alliance/ dpa