Erinnern Sie sich unserer letzten Aufgabe? Anlass war die im Januar gefundene Primzahl 2{+5}{+7} {+8}{+8}{+5} {+1}{+6}{+1}-1, eine Zahl mit 17 425 170 Stellen. Dies ist die größte bekannte Primzahl. {rahkv} Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: Auf eine DIN-A-4-Seite passen in 12-Punkt-Schrift (Courier New) 3224 Ziffern. Wie viele Seiten benötigt man zum Ausdruck dieser Zahl? Die Lösung: 17 425 170:3224 Seiten, also 5405 Seiten. Das müssen Sie sich einmal vorstellen: 5405 Seiten, das sind fast elf 500-Blatt-Packungen Druckerpapier. Bei 80-Gramm-Papier ein Stapel höher als einen halben Meter.

Diese neue größte Primzahl ist eine Mersenne-Zahl. Das sind Zahlen der Form M(n) = 2{+n}-1, benannt nach dem französischen Mathematiker Marin Mersenne. Mersenne stellte fest: Ist n keine Primzahl, so ist auch M(n) keine Primzahl. {rahkv} Unsere Frage außer Konkurrenz: Warum ist das so? Keine ausführliche Begründung hier, zu viel Formelkram: Die eigentliche Idee zeigen wir an dem repräsentativen Beispiel n=12:4 ist ein Teiler von 12. Daher, und dies ist der Kern, teilt M(4) die Zahl M(12). 15 teilt 4095.

Mersenne beobachtete auch: Ist n eine Primzahl, so kann M(n) Primzahl sein oder nicht.

M(7) ist Primzahl, M(11) nicht. {rahkv} Unsere zweite Bitte, Ihre zweite Aufgabe: Finden Sie eine weitere Primzahl n, für die M(n) keine Primzahl ist. Die Lösung: Googeln oder Probieren. Ohne geeignete Programme* ist Probieren mühsam. Man findet: M(13), M(17), M(19) sind Primzahlen, M(23) ist zusammengesetzt,

M(23)=47·178 481.

Am Ende unsere Spezialfrage für informatiknahe Menschen: Wie lautet die Dualdarstellung von 2{+n}-1?

Die Antwort: n Einsen. Das ist wie bei 10n - 1 im Zehnersystem: 10{+1}-1=9 10{+2}-1=99 10{+3}-1=999 …..

Der eigentliche Grund: 2{+n}-1=1+2+2{+2}+2{+3}+...2{+n}{+-}{+1}.

Noch ein Tipp: Falls unsere Aufgaben für Sie zu leicht sind oder falls Sie einfach weitere Herausforderungen suchen, dann empfehle ich Ihnen die Mathekolumne in der Donnerstagsausgabe von Le Monde. Sie finden Sie auch im Internet. Natürlich in Französisch.

lemonde.fr/mathematiques/

* Mit dem freien Computeralgebrasystem Maxima ist die Suche einfach. Der Befehl ifactors(x) liefert die Primfaktorzerlegung der Zahl x.

maxima.

sourceforge.net/

Zum Thema:

Auf einen BlickMathe-Asse noch und nöcher haben sich an diesem Rätsel herangetraut. Aus allen richtigen Einsendungen wurden zehn Gewinner gezogen (Rechtsweg ausgeschlossen. Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Tholeyer Hallenbad, gestiftet von der Gemeinde.Die Sieger: Gerd-Henning Sutter (Saarbrücken), Gerd Müller (Hasborn), Holger Bassalik (Wemmetsweiler), Gerold Fischer (Völklingen), Sophia ;Mohr (München), Valentin Zengerle (Losheim am See), Jens Eckstein (Vaterstetten), Birgit Reimsbach (Saarlouis), Dirk Zinsmeister (Quierschied), Reinhold Keller (Freisen). red