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20 Cent können ganz viel Arbeit machen

Die letzte Aufgabe hat viele zum Mitmachen bewegt. Und es gab viele richtig gute Lösungen. Zur Erinnerung: Es ging um Kleingeld, es ging darum, auf wie viele Arten man 20 Cent mit den gängigen Euromünzen zusammen bringen kann. Mit einem Hinweis darauf, warum die gefundene Zahl stimmt. Nichts mit Formeln, nur Systematik. Buchhalterisches Aufzählen aller Möglichkeiten Von Mathematik-Professor Rainer Roos

Die letzte Aufgabe hat viele zum Mitmachen bewegt. Und es gab viele richtig gute Lösungen. Zur Erinnerung: Es ging um Kleingeld, es ging darum, auf wie viele Arten man 20 Cent mit den gängigen Euromünzen zusammen bringen kann. Mit einem Hinweis darauf, warum die gefundene Zahl stimmt. Nichts mit Formeln, nur Systematik. Buchhalterisches Aufzählen aller Möglichkeiten. Ich stelle Ihnen zwei Lösungen vor, eine Liste und einen Entscheidungsbaum. Zuerst die Liste: Ordnung vom Großen zum Kleinen, rechts stehende Münzwerte sind nie größer als links stehende: 20 10, 10 10, 5, 5 10, 5, 2, 2, 1 10, 5, 2, 1, 1, 1 10, 5, 1, 1, 1, 1, 1 10, 2, 2, 2, 2, 2 10, 2, 2, 2, 2, 1, 1 10, 2, 2, 2, 1, 1 , 1, 1 10, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 10, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 10, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 5, 5, 5, 5 5, 5, 5, 2, 2, 1 Und so geht's weiter. Die letzten beiden Zeilen: 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 Dann wird gezählt: Eine Möglichkeit mit 20 als größter Münze, 11 mit 10 als größter Münze, 18 mit 5 als größter Münze, 10 mit 2 als größter Münze, eine mit 1 als größter Münze. Insgesamt 41 Möglichkeiten. Die Systematik, hier vom Großen zum Kleinen, sichert, dass nichts vergessen wurde. Die Darstellungen sind, so der Begriff der Fachsprache, lexikographisch geordnet, halt ähnlich wie in einem Lexikon (von hinten gelesen). Ein Entscheidungsbaum funktioniert ähnlich, ist aber graphisch. Im ersten Schritt wird entschieden, welches die größte Münze in einem Zweig ist. Das sieht dann so aus wie im kleinen einspaltigen Bild. Sind die 20 Cent erreicht, so wird der Knoten grün gefärbt, dort ist man fertig. Ist die größte Münze eine Eins, so ist man auch fertig: Es gibt nur noch die eine Möglichkeit, 20 Cent zu erreichen, nämlich mit Einern. Die grünen Knoten müssen also nicht mehr bearbeitet werden. Bei den anderen Knoten wird über die zweite Münze entschieden, ihr Münzwert darf nicht größer als der Vorgänger werden, genau wie in der Liste. Siehe das zweite, zweispaltige Bild. Und so geht's weiter. Der fertige Baum sieht dann so aus wie in dem dreispaltigen großen Bild. Man muss nur noch die grünen Knoten zählen und erhält so die Anzahl der Möglichkeiten. Die Methode ist richtig gut, probieren Sie sie einmal aus. Wenn Sie darin fit sind, können Sie sich auch an die Zusatzfrage wagen. Wie viele Möglichkeiten gibt es bei 2 Euro? Sie brauchen etwas Geduld und ein großes Blatt Papier, ein wirklich großes Blatt. Wenn Sie auf jedem Quadratzentimeter einen Endknoten unterbringen, das ist sehr eng, benötigen Sie allein für die grünen Endknoten etwas mehr als sieben Quadratmeter Papier, für den vollständigen Baum vermutlich mehr als 20 Quadratmeter. Vielleicht richten Sie in Ihrer Wohnung ein "Baumzimmer" ein, geräumig, freundlich und hell. Sie werden dort viele Stunden verbringen. Wenn Sie in beengten Wohnverhältnissen leben, sollten Sie sich für die Listenmethode entscheiden. Ein Küchentisch genügt. Aber auch hier benötigen Sie viel Papier. Wenn Sie pro DIN-A4 Seite 10 Darstellungen im Mittel unterbringen, Sie müssen dann ganz klein schreiben, benötigen Sie mehr als 7000 Blatt. Vielleicht warten Sie auf ein günstiges Papierangebot Ihres Lieblingsdiscounters. Etwa 15 Packen á 500 Blatt. Auch in diesem Fall ist etwas Geduld angesagt. Dies alles unter der Voraussetzung, dass mein Programm zur Errechnung aller Möglichkeiten funktioniert. Bei zwei Euro gibt es 73 682 Möglichkeiten. Eine kombinatorische Explosion, jenseits aller Vorstellungskraft. Mich hat nach der 2-Euro-Frage der Teufel geritten. Ich warf meinem Programm die 5-Euro-Frage vor. Langes, langes Schweigen auf einem alten Rechner. Nach zwei Tagen eine Antwort: Mehr als 6,2 Millionen Möglichkeiten, wenn die Antwort stimmt. Ich bin mir in diesem Punkt allerdings sehr sicher. Die Zahl ist riesengroß. Notiert man pro Sekunde eine Darstellung, dies ist vollkommen unrealistisch, so dauert dies fast 73 Tage. Ich bin inzwischen zu meinen alten Gewohnheiten zurückgekehrt. Ich zahle mit Papiergeld. Meine Frau übernimmt mein Münzgeld. Sie stiftet damit Kerzen in der Vogelsbornkapelle in Eiweiler, mittlerweile auch in anderen Kapellen. Mit Fürbitten zum Wohl meiner geistigen Gesundheit. Sie meint, das sei dringlicher denn je.



Auf einen Blick70 Leser aus den Kreisen Merzig-Wadern, Saarlouis und St. Wendel haben bei der jüngsten Mathematik-Aufgabe von Rainer Roos mitgemacht. Die meisten kommen auf die richtigen 41 Möglichkeiten.Einige Ergebnisse weichen deutlich ab.Mathe verbindet auch Familien. Das zeigt das Beispiel von Lena Boßmann aus Schwalbach. Sie schreibt: "Die Antwort lautet 41 Möglichkeiten. Die Lösung stimmt, weil ich alle Möglichkeiten mit meinem Opa durchgespielt habe." Toll. Willibald Steffen aus Lebach schreibt: "Während die ersten beiden mathematischen Rätsel in der SZ ja ziemlich einfach waren, stellt das Geldwechselproblem eine echte Herausforderung dar." Das freut nicht nur Rainer Roos.Zehn Einsender haben jeweils einen Gutschein über zehn Euro für das Schaumbergbad in Tholey gewonnen (von der Gemeinde Tholey und dem Erlebnisbad): Hans Schmidt, Freisen, Wolfgang Klein, Siersburg, Achim Josten, Wadern, Paul Aatz, Schmelz, Lena Boßmann, Schwalbach, Edgar Huber, Marpingen, Ulla Schnur, Urexweiler, Manfred Johannes, Dillingen, Birgit Reimsbach, Schmelz, Corinna Geier, Merzig. vf