Zick-Zack-Abrakadabra
Für manchen ist Mathe Magie. Mit Zaubererei hat dies aber nichts zu tun. Auch wenn es in der jüngsten Mathe-Aufgabe von Rainer Roos um den berühmten Zauberspruch Abrakadabra ging.
Sie erinnern sich der letzten Aufgabe? Magie, Zauber, Abrakadabra. Es ging um das Abrakadabra in Grafik 1: Liest man von oben nach unten und wählt man aus jeder Zeile einen Buchstaben, so erhält man viele Abrakadabras. Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: Wie viele? Die Antwort: In der ersten Zeile gibt es eine Möglichkeit, in der zweiten zwei, dann drei und so fort, in der vorletzten zwei und der letzten eine. Man erhält daher als gesuchte Anzahl:
1·2·3·4·5·6·5·4·3·2·1=86 400. Ganz schön viel. Wenn Sie für das Lesen jeder Variante nur eine Sekunde benötigen, sind Sie einen ganzen Tag beschäftigt, genau 24 Stunden. Zufall? Bedenken Sie, das Wort ist magisch.
Noch interessanter wird es, wenn man beim Lesen von oben nach unten die Auswahl des nächsten Buchstabens einschränkt: Man darf nur schräg nach unten links oder schräg nach unten rechts gehen, wie in Grafik 2 die gelbe Folge: Zick-Zack-Abrakadabra.
Die zweite Aufgabe: Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt? Die Lösung: Man notiert von oben nach unten jeweils die Anzahl der Zick-Zack-Wege wie in Grafik 3: Die Anzahl der Wege zu einem Buchstaben ist gleich der Summe aus den schräg drüber stehenden Zahlen. Das kennen Sie, Pascalsches Dreieck. Hätten Sie dies vermutet?
Und die Frage außer Konkurrenz: Jeder Zick-Zack-Weg von oben nach unten geht durch ein A in der mittleren Zeile. Wie viele Wege gehen durch jedes A?
Die Antwort: Ganz links gibt es nur einen Weg. An zweiter Stelle gibt es 5·5 Wege, 5 von oben zur Mitte und 5 von der Mitte nach unten. Dann 10·10 Wege. Und so geht es weiter. Die Summe all dieser Zahlen muss dann 252 ergeben und dies ist so:
1·1 + 5·5 + 10·10 + 10·10 + 5·5 + 1·1 = 252.
Wahrlich eine interessante Eigenschaft des Pascalschen Dreiecks, die man verallgemeinern kann! Für Profis haben wir dies in Grafik 4 in der heute üblichen Schreibweise dargestellt, nämlich als Summenformel.
Wenn Sie mehr über Abrakadabra, das Pascalsche Dreieck und solche Sachen erfahren wollen, dann empfehle ich Ihnen Georg Polyas "Vom Lösen mathematischer Aufgaben". Polya war einer der Großen im 20. Jahrhundert, mit einer seltenen Gabe: Er konnte verständlich schreiben.
Zum Thema:
Auf einen Blick21 SZ-Leser haben sich an der jüngsten Mathe-Aufgabe von Rainer Roos beteiligt. Aus allen Einsendungen hat die Glücksfee zehn Gewinner gezogen. Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Erlebnisbad Schaumberg in Tholey, gestiftet vom Erlebnisbad und der Gemeinde. Gewonnen haben: Klaus Schmitt aus Lockweiler, Guido Röder aus Losheim, Rudi Dupré aus Primstal, Dieter Saar aus Saarbrücken, Matthias Mohr aus Kaiserslautern, Bert Zilles aus Mandelbachtal, Wolfgang Egler aus Schmelz, Reinhold Keller aus Freisen, Carlos Yupanqui aus Saarbrücken und Claudia Weiss aus Überherrn. vf
