Das Hirn zermartert

Normalerweise schrecken mathematische Formeln viele Menschen ab. Aber im Saarland gehen die Uhren offensichtlich anders. Denn vom Schüler bis zum Rentner, vom Arbeiter bis zum Hochschul-Professor grübeln die Menschen mit.

Sie erinnern sich der letzten Aufgaben? Es ging um Dreieckszahlen, Zahlen wie in der ersten Grafik.

Diese Zahlen kann man leicht berechnen: D{-1} sei die erste Dreieckszahl, D{-2} die zweite und so fort. Dann gilt: D1=1 D{-2}=1+2=3 D{-3}=1+2+3=6, und so geht es weiter. {rahkv} Ihre erste Aufgabe: Finden Sie eine Formel zur Berechnung der Dreieckszahlen. Dazu gab es einen Tipp: Die zweite Grafik liefert eine Methode zur Berechnung von D{-5} , die man verallgemeinern kann. Die zweite Grafik ist repräsentativ für die allgemeine Situation: 2D{-5}=5(5+1), also: D{-5}={+1}/{-2}·5·(5+1).

Was für 5 gilt, gilt für jede Zahl n. Für n=20 erhält man zum Beispiel: D{-2}{-0}={+1}/{-2} ·20·21=210.

Addiert man zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen, so erhält man eine Quadratzahl. Beispiele: D{-3}+D{-4}=16 D{-4}+D{-5}=25 {rahkv} Ihre zweite Aufgabe: Finden Sie eine Erklärung. Eine Lösung finden Sie in der dritten Grafik, sie steht für die allgemeine Situation.

Gauß bewies mit 19 Jahren, dass jede natürliche Zahl Summe von höchstens drei Dreieckszahlen ist. {rahkv} In der dritten Aufgabe sollte eine solche Summendarstellung für 104 angegeben werden.

Eine Lösung: 104=D{-2}+D{-4}+D{-1}{-3}=3+10+91. {rahkv} Bei der Zusatzfrage ging es um die Zerlegung von Dreieckszahlen. Zum Beispiel gilt: D{-1}{-0}=D{-1}+D{-9}+1·9 =D{-2}+D{-8}+2·8 =D{-3}+D{-7}+3·7 =D{-4}+D{-6}+4·6 =D{-5}+D{-5}+5·5

Eine Begründung finden Sie in der vierten Grafik. Es springt ins Auge. Offensichtlich kann man Dreieckszahlen immer so darstellen. Die allgemeine Formel sieht so aus: D{-n}=D{-k}+D{-n}{--}{-k}+k·(n-k), wobei k=n. Das sieht richtig kompliziert aus, ist aber ganz einfach. In der vierten Grafik ist n=10, k=3.

Zum Thema:

Auf einen BlickViele Leser haben sich an der Mathe-Aufgabe von Rainer Roos beteiligt. Aus allen Einsendungen hat die Glücksfee zehn Gewinner gezogen (Rechtsweg ausgeschlossen). Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Tholeyer Hallenbad, von der Gemeinde gestiftet. Gewonnen haben: Andreas Brachmann (Tholey), Selina Kuhn (Illingen), Hans-Walter Bronder (Schiffweiler), Bert Zilles (Mandelbachtal), Bernhard Aue (Saarbrücken), Timo Brück (Dirmingen), Roman Zeyer (Ottweiler), Walter Bub (Überherrn), Luisa Neufang (Dörrenbach), Birgit Reimsbach (Saarlouis). red