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Mathe macht Spaß mit Professor Rainer Roos

SZ-Serie Mathe macht Spaß : Gleichheit: Aller guten Dinge sind drei

In seinen jüngsten Aufgaben befasste sich Mathe-Professor mit Gleichheit und Ungleichheit. Die lässt sich berechnen. Zumindest in der Mathematik.

Sie erinnern sich der letzten Aufgaben? Es ging um Gleichheit und Ungleichheit, ein wichtiges Thema im Leben, in der Politik und auch in der Mathematik. Wir stellten fest, Gleichheit muss man definieren, sie erklärt sich nicht von selbst, ist nicht beliebig. Dabei sind drei Forderungen zu beachten: 1. Jedes Ding ist sich selbst gleich, es gilt immer a = a.
2. Gleichheit ist symmetrisch.
Aus a = b folgt b = a.
3. Gleichheit ist transitiv, man kann Ketten verkürzen: Aus a = b und
b = c folgt a = c.

Mathematische Strukturen, die diese Forderungen erfüllen, heißen Äquivalenzrelationen. Zuerst ging es in der jüngsten Aufgabe um die Gleichheit von Brüchen. Wir legten fest: Zwei Brüche sind gleich, wenn ihre Dezimalbrüche übereinstimmen; dies läuft dann auf die folgende Definition (ohne lästige Divisionen) hinaus: a/b = c/d bedeutet ad = bc, (alles ganze Zahlen, b, d ungleich 0).

Unsere erste Aufgabe: Überprüfen der drei Anforderungen an Gleichheit an Beispielen. Wir bringen ein repräsentatives Beispiel zur dritten Eigenschaft nach dem (ätzenden) klassischen Beweisschema:

Voraussetzung: 2/3 = 4/6 und 4/6 = 10/15.

Behauptung: 2/3 = 10/15.

Beweis: Nach Voraussetzung gelten 2∙6 = 3∙4 und 4∙15 = 6∙10. Es folgt 2∙6∙15= 3∙4∙15 und 3∙4∙15=3∙6∙10, also 2∙6∙15 = 3∙6∙10. Nach Division durch 10 folgt die Behauptung. Zur zweiten Frage: Gilt 14/26 = 30 247/56 171? Man rechnet nach: 14∙56171≠ 26∙30347; also sind die beiden Brüche verschieden. Und dann: Und es gelte 7/13 = 228438/x. Wie groß ist x? Die Lösung: x = 424242.

Im Weiteren ging es um die von Gauß definierte „Kongruenz“: Zwei ganze Zahlen heißen kongruent modulo 4, wenn sie bei Division durch 4 (hier kann jede andere natürliche Zahl stehen) den gleichen Rest haben.

Ihre dritte Aufgabe: 31:4 = a Rest b. Wie groß sind a und b? Das ist kinderleicht. 31:4= 7 Rest 3. Reste bei Division durch 4 können nur die Zahlen 0, 1, 2, 3 sein; dies muss man beachten, wenn man -31 durch 4 teilt: -31:4 = -8 Rest 1.

Die vierte Frage bezog sich auf Reste bei Division durch 1. Da jede Zahl durch 1 teilbar ist, ist der Rest immer 0, bei Division durch 1 sind alle Zahlen kongruent, gleich, es gibt nur eine Klasse.

Bei der fünften Frage ging es um den Autor des Zitats „Alle Tiere sind gleich. Aber manche sind gleicher als die anderen“ Das Zitat stammt aus dem Roman „Farm der Tiere“ (Animal Farm, 1945) des britischen Autors George Orwell.

Schließlich die letzte Bitte, es ging um Division durch 2; fasst man die jeweils untereinander Gleichen zu einer Klasse zusammen, so gibt es zwei Klassen, die beschrieben werden sollten. Bei Division durch 2 können die Reste 0 und 1 entstehen. Zahlen mit Rest 0 sind gerade, Zahlen mit Rest 1 sind ungerade.

Manche Zahlen haben Gemeinsamkeiten, um die ging es in der jüngsten Aufgabe von Mathe-Professor Rainer Roos. Unser Symbolbild zeigt eine Regalwand mit Zahlen und Buchstaben in einem Klassenzimmer. Foto: dpa/Arno Burgi

Mehr über Gleichheit, Ungleichheit und Äquivalenz in der Mathematik bei Wikipedia. Wenn Sie mehr über Gleichheit und Ungleichheit im Leben wissen wollen, lesen Sie „Die weltweite Ungleichheit: The World Inequaltity Report 2018“, herausgegeben u.a. von Thomas Piketty.