Mathe-Rätsel Der große Stellenwert des Stellenwertes
neunkirchen · Diese Aufgabe von Mathe-Professor Rainer Roos hat überrascht, erinnert ein wenig an Geheimsprachen. Die Zahl 298 kann man auch als 1214 oder 12A schreiben. Es kommt nur auf das Stellenwertsystem an. Logisch. Oder?
Sie erinnern sich der letzten Aufgaben? Es ging um Zahldarstellungen, Stellenwertsysteme. Wir starteten mit römischen Zahlen: Welche Zahl ist mit MDCCCCLXXXIX gemeint?
Die Antwort:
M +1000
D +500
CCCC +400
L +50
XXX +30
I -1
X +10
-----------------------------------
= 1989
Das ist kompliziert, man muss addieren oder subtrahieren, je nachdem, wo ein Zeichen steht. Übrigens: Man kann diese Zahl kürzer schreiben.
Weiter ging es mit Darstellungen der Dezimalzahl 298 in verschiedenen Basen. Wir zeigen die Rechnung für die Basis 6. Zur Erinnerung: Basis 6 bedeutet Darstellung von 298 als Summe von Vielfachen von Sechserpotenzen, Vielfachen, die kleiner als 6 sind.
Dazu führt man Division durch 6 mit Rest durch:
298 : 6 = 49 Rest 4
49: 6 = 8 Rest 1
8 : 6 = 1 Rest 2
1 : 6 = 0 Rest 1
Es folgt: 298 = 4∙60 + 1∙61 + 2∙62 + 1∙63 . Das bedeutet im Sechsersystem die Zahl 1214.
Die weiteren Ergebnisse finden Sie hier:
298: 100101010 im Zweiersystem
298: 02001 im Dreiersystem
298: 1214 im Sechsersystem
298: 12A im Sechzehnersystem.
Bei der dritten Frage ging es um eine Auffälligkeit bei der Darstellung von 64 – 1 und 65 – 1 im Sechsersystem. Man erhält lauter Fünfen:
64 – 1 : 5555
65 – 1 : 55555.
Das kann kein Zufall sein. Ist es auch nicht. Im Zehnersystem gibt es etwas Analoges:
101 – 1 = 9
102 – 1 = 99
103 – 1 = 999 ….
In jedem Stellenwertsystem gibt es etwas Analoges. Hintergrund ist die Formel für die „geometrische Summe“, die in vielen Bereichen der Mathematik hilfreich ist. Sie finden diese Formel in der Sechservariante für n = 4 und n = 5 in folgender Abbildung über zwei geometrische Summen:
64 - 1 =
(6 - 1) (63 + 62 + 61 + 1)
65- 1 =
(6 - 1) (64 + 63 + 62 + 61 + 1)
An Stelle der 6 können Sie jede beliebige Zahl einsetzen, für andere Zahlen n geht es analog.
Dann ganz am Ende eine oft diskutierte Streitfrage: Was bedeutet eigentlich die periodische Dezimalzahl 0,9999…..? Ist dies eine seltsame Darstellung der Zahl 1, also 1, oder ist es eine Zahl nahe bei 1, aber ein klitzeklein wenig kleiner?
Die Antwort: 0,999…. = 1.
0,999…. bedeutet: 9/10 + 9/100 + 9/1000 + …., , ist also eine Summe von unendlich vielen Zahlen. Kein Mensch kann unendlich oft addieren, man muss also erklären, was dies bedeuten soll und dass hier das Ergebnis 1 ist. Dazu braucht man solide Kenntnisse über reelle Zahlen und Grenzwerte.
Setzt man aber voraus, dass man mit periodischen Dezimalbrüchen genau so rechnen kann wie mit abbrechenden Dezimalbrüchen, dann kann man so argumentieren:
Sei x = 0,999…, ; dann gilt: 10x = 9,999…, also 10x = 9 + x. Hieraus folgt x = 1.
