Abstände passend machen

Wer von seinem Standort aus in verschiedene Richtungen jeweils den kürzesten Weg sucht, muss sich das genau überlegen. Oder: Er rechnet. So wie es Rainer Roos vorschlägt. Wie? Das müssen Sie herausfinden.

Standortprobleme spielen in der Praxis eine große Rolle. Wo soll ein zentrales Lager errichtet werden, das 20 Filialen beliefern soll? Wo soll ein Gerät für kabellose Netzverbindungen stehen, das eine bestimmte Anzahl von Rechnern versorgen soll? In der Praxis ist die Lösung solcher Aufgaben häufig durch viele Nebenbedingungen erschwert, man muss zum Beispiel Straßenverläufe berücksichtigen oder Besitzverhältnisse.

Der mathematische Kern sieht aber oft so aus: Gegeben sind zum Beispiel fünf Punkte A, B, C, D, E. Finden Sie einen Punkt F mit folgender Eigenschaft: Die Summe der Entfernungen von F zu den fünf Punkten ist minimal. Wie in Bild 1. Ein Standortproblem: Gesucht ist F mit a+b+c+d+e ist minimal.

Lösungsstrategien hängen von der Anzahl und Lage der Punkte ab. Manchmal gelingt die Lösung mit einfacher Geometrie , wie in unserem ersten Fall: Gegeben sind zwei Punkte. Unsere erste Bitte, Ihre erste Aufgabe: Finden Sie alle Punkte F, so dass die Summe der Entfernungen zu diesen beiden Punkten minimal ist. Das ist einfach. Können Sie Ihr Ergebnis auch beweisen?

Der zweite Fall ist ganz anders: Gegeben sind fünf Punkte, die auf einer Geraden liegen, wie in Bild 2: fünf Punkte auf einer Geraden. Finden Sie alle Punkte F, sodass die Summe der Entfernungen zu diesen Punkten minimal ist. Dazu eine Anmerkung: Wir hatten so etwas schon einmal, in einer anderen Einkleidung. Das Ergebnis ist überraschend, weil es nicht von der Entfernung der Punkte voneinander abhängt. Wenn Sie mit der Lösung Probleme haben, versuchen Sie es zuerst mit drei Punkten.

Bei unserer dritten Aufgabe geht es um vier Punkte, die ein ganz normales Viereck bilden, ohne Ausbeulung nach innen, wie im dritten Bild. Für Experten: Es geht um konvexe Vierecke. Bild 3: das Vierecksproblem. Dann ist der Schnittpunkt der Diagonalen der gesuchte Punkt F. Unsere dritte Bitte, Ihre dritte Aufgabe: Begründen Sie dies. Jeder Punkt P ungleich F ist schlechter. Vielleicht hilft Ihnen Bild 4 weiter: P ist nicht optimal. Warum?

Wenn Sie bis hierhin gelesen haben, aus Interesse, aus Langeweile oder weil Sie die SZ immer ganz lesen (mach' ich drei Mal die Woche; erst Politik, dann Todesanzeigen, dann Lokales, dann Sport, danach den Rest des Blattes) - wenn Sie also bis hierhin gelesen haben, sind Sie vermutlich an Mathe interessiert. Für Sie, außer jeder Konkurrenz, unsere vierte Frage: Wo ist der optimale Standort, wenn das Viereck nach innen ausgebeult ist, wie in Bild 5: ein unangenehmer Fall.

Zum Thema:

Auf einen BlickDie Lösung geht an die St. Wendeler Lokalredaktion der Saarbrücker Zeitung. Bis Dienstag, 7. Oktober, muss sie ankommen. Wir verlosen zehn Gutscheine zu je zehn Euro fürs Hallenbad in Tholey. Die Gutscheine stellt die Gemeinde bereit. Der Rechtsweg ist ausgeschlossen. Die Auflösung erfahren die Leser in der SZ-Ausgabe vom Mittwoch, 8. Oktober, oder in einer der folgenden. Adresse und Stichwort: Saarbrücker Zeitung, Mia-Münster-Straße 8, 66606 St. Wendel; Fax: (0 68 51) 9 39 69 59; E-Mail: redwnd@sz-sb.de. Stichwort: Wege. Wichtig: Ihre Anschrift nicht vergessen, damit wir den eventuellen Gewinn zuschicken können. red