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Gelöst: Eine Aufgabe mit Ecken und Kanten

Gelöst : Eine Aufgabe mit Ecken und Kanten

Zählen ist gar nicht so einfach. Zumindest dann nicht, wenn sich so manches Recht- oder Dreieck versteckt. Das zeigte die jüngste Aufgabe von Mathe-Professor Rainer Roos.

Sie erinnern sich der letzten Aufgaben, auch wenn es schon einige Tage her ist? Es ging ums Zählen, einfaches Zählen.

Die erste Aufgabe war sehr leicht, zum Aufwärmen: Wie viele Dreiecke gibt es in dem Quadrat mit Diagonalen? Siehe dazu die erste Abbildung „Einfache Rechtecke“ der Grafik „Die Anzahl der Rechtecke“. Die Antwort: Acht, vier halbe Quadrate und vier Viertelquadrate.

Die zweite Aufgabe war etwas schwieriger: Wie viele Rechtecke (Quadrate sind auch Rechtecke) gibt es in der Abbildung „Viele Rechtecke“?

Nimmt man an, dass die Seitenlänge der Quadrate1 ist, wie in der Abbildung angedeutet, so kann man die Anzahl der Rechtecke durch planvolles Zählen ermitteln, indem man etwa zuerst die Rechtecke mit der Breite 1, dann die mit der Breite 2, …, zählt. Man erhält 60 Rechtecke. Sind Sie auch darauf gekommen?

Eleganter und auch für große und allgemeine Aufgaben dieses Typs geeignet ist die folgende Methode: Betrachten Sie die Abbildung „Die Ränder der Recktecke“. Das schwarze Rechteck ist eindeutig bestimmt durch Länge und Lage der Grundseite, das ist die rote Linie, und Länge und Lage der Höhe, das ist die blaue Linie. Jedes Rechteck ist auf diese Art bestimmt.

Um die Anzahl aller Rechtecke zu bestimmen, muss man die Anzahl der roten und der blauen Strecken kennen und diese miteinander multiplizieren. Rote Strecken gibt es eine der Länge 4, zwei der Länge 3, drei der Länge 2 und vier der Länge 1. Insgesamt also 1+2+3+4. Für die Anzahl der blauen Strecken findet man analog 1+2+3. Die Gesamtzahl der Rechtecke ist daher (1+2+3+4)·(1+2+3), also 60.

Richtig fies war unsere dritte Frage, Ihre dritte Aufgabe: Wie viele Dreiecke gibt es in dem Fünfeck der Abbildung  „Die Anzahl der Dreiecke“. Hier hilft systematisches Vorgehen. Man identifiziert sechs verschiedene Typen von Dreiecken. Dreiecke von Typ 1, 2, 3 enthalten genau eine Fünfeckseite, Typ 4 enthält zwei Fünfeckseiten, die Typen 5 und 6 enthalten keine Seiten, aber einen bzw. zwei Fünfeckecken. Weitere Typen gibt es nicht. Von Typ 3 gibt es 10 Realisierungen, von allen anderen jeweils 5. Also gibt es 35 Dreiecke.

Bei der Zusatzaufgabe ging es um das Einbahnstraßennetz der Abbildung „Die Anzahl der Wege.“

 Wie viele Wege führen von A nach L? Ein Tipp: Berechnen Sie nacheinander die Anzahl der Wege von A nach B, von A nach C und so fort.

Die Lösung: Folgt man dem Tipp, so erhält man die Folge der Fibonaccizahlen:

A-B                 1

A-C                 1+1

A-D                1+2

A-E                 2+3

A-L                 55+89,

Lösung: Die Anzahl der Rechtecke Foto: SZ/Müller, Astrid
Lösung: Die Anzahl der Wege Foto: SZ/Müller, Astrid
Lösung: Die Anzahl der Dreiecke Foto: SZ/Müller, Astrid

also gibt es 144 Wege von A nach L.