Das Rätsel ist gelöst Auf die Dicke kommt es an - außer beim Rad
Homburg · Um Kreise und Tangenten und ihr Verhältnis zueinander ging es in unserem letzten Matherätsel. Das war teils ganz schön knifflig.
Kreise sind überall gleich dick. Parallele Tangenten haben immer den gleichen Abstand. Hat der Kreis zum Beispiel den Radius 5, so ist der Abstand paralleler Tangenten immer 10, wie in Bild 1 links. Erstaunlicherweise gibt es solche immer gleich dicke Figuren, die keine Kreise sind. Eine ist das Dreieck mit Teilkreisen als Seiten in Bild 1 rechts: Man geht von einem gleichseitigen Dreieck aus, hier mit der Seitenlänge 10. Durch jede Ecke wird dann ein Teilkreis durch die beiden anderen Ecken beschrieben. Das Ergebnis heißt Reuleaux-Dreieck, benannt nach seinem Erfinder Franz Reuleaux.
Um dieses Dreieck und ähnliche Figuren ging es bei unserer letzten Aufgabe, Sie erinnern sich?
Unsere erste Frage dazu: Warum ist dieses Reuleaux-Dreieck immer gleichdick, das heißt, warum haben parallele Tangenten immer den gleichen Abstand?
Die Antwort: Von zwei parallelen Tangenten geht stets die eine durch eine Ecke, die andere ist Tangente des gegenüberliegenden Kreisbogens wie in Bild 2 rechts. Oder beide gehen durch Ecken, sind aber Tangenten an Kreisbögen wie in Bild 2 links.
Bei der zweiten Aufgabe ging es um den Flächeninhalt FR des gleichdicken Dreiecks und um den Vergleich mit einem gleichdicken Kreis. Wir rechnen mit der Dicke d, im konkreten Fall ist d = 10. Die Rechnung ist nicht allzu schwierig, man muss den Inhalt von Kreissektoren und gleichseitigen Dreiecken richtig kombinieren. Die Formel für den Flächeninhalt und das Verhältnis zur Kreisfläche sehen Sie in Bild 4 links. Gegenüber einem Kreis spart man etwas mehr als zehn Prozent der Fläche ein. Übrigens, mehr Sparen geht nicht, von allen Gleichdicken besitzt das Reuleaux-Dreieck die kleinste Fläche.
Die dritte Aufgabe war anspruchsvoller: Es ging um den Flächeninhalt des glatten Gleichdicks FG von Bild 3.
Das Ergebnis sehen Sie in Bild 4 rechts. Gegenüber dem Kreis ist die Fläche nur mickrige ein Prozent kleiner.
Bei der letzten Aufgabe schließlich ging es um den Umfang der vorgestellten Gleichdicke der Dicke 10. Es stellt sich heraus: Alle haben den Umfang 10·π. Dies ist kein Zufall, man kann zeigen, dass alle Gleichdicke der Dicke d den Umfang d·π besitzen.
Und dann ganz am Ende die tolle Idee mit dem Fahrrad: Besonders leichte Räder durch Reuleaux-Dreiecke. Klappt leider nicht, ein Achsenproblem. Ganz gleich welchen Punkt in den Reuleaux-Dreiecken Sie für die Achsen wählen, das Fahrrad wird sich auf und ab bewegen.
Falls Sie Lust auf mehr haben, es gibt mehr, viel mehr. Zum Beispiel das Gleichdick in Bild 5, eine Figur ohne Symmetrien, dennoch überall von gleicher Breite. Können Sie das sehen?
Oder gleichdicke Körper im Raum, die keine Kugeln sind. Das wird richtig kompliziert.
