1. Saarland

Mathe und Farbe - gut gemischt

Mathe und Farbe - gut gemischt

Sie erinnern sich unserer letzten Aufgabe? Es ging um das Vierfarbenproblem, den Vierfarbensatz. Appel und Haken hatten 1976 bewiesen, dass vier Farben genügen, um eine Landkarte zulässig einzufärben. Zulässig heißt, dass zwei Länder mit einer gemeinsamen Grenzlinie stets unterschiedliche Färbungen erhalten

Sie erinnern sich unserer letzten Aufgabe? Es ging um das Vierfarbenproblem, den Vierfarbensatz. Appel und Haken hatten 1976 bewiesen, dass vier Farben genügen, um eine Landkarte zulässig einzufärben.Zulässig heißt, dass zwei Länder mit einer gemeinsamen Grenzlinie stets unterschiedliche Färbungen erhalten. Es werden nur Länder betrachtet, die eine zusammenhängende Fläche besitzen, also keine Enklaven. Isolierte gemeinsame Punkte gelten nicht als Grenzlinie.

Der Beweis war kompliziert, es mussten 1936 einzelne Fälle mit dem Computer überprüft werden. Nach einigen Jahren fand man zwei Fehler, die aber beseitigt werden konnten.

Viele Mathematiker sind mit dieser Art von Computerbeweisen unzufrieden, da kein Mensch die einzelnen Fälle direkt nachprüfen kann.

Vier Farben braucht man mindestens. Bei unserer ersten Frage, Ihrer ersten Aufgabe, ging es darum, dies durch ein Beispiel zu belegen.

Nehmen Sie das Saarland; umgeben von Lothringen, Luxemburg, Rheinland-Pfalz. Jedes dieser vier Länder hat gemeinsame Grenzen mit allen anderen, also braucht man mindestens vier Farben. Eine Situation wie bei Grafik eins.

Bei der zweiten Frage ging es um Landkarten in der Scheibenwelt. Die Scheibe war ursprünglich ein Staat, der dann aufgeteilt wurde. Und wieder und wieder und wieder. Allerdings immer durch Kreissehnen, wie in der zweiten Grafik. Die neue Grenzlinie ist jeweils blau eingezeichnet. Sie sehen die kolorierten Entwürfe der Kartografen für die Farbverteilungen bei den ersten vier Teilungen. Die Kartografen stellten erstaunt fest, dass sie mit zwei Farben auskamen.

Unsere Zusatzfrage: Reichen unter den Bedingungen der Scheibenwelt immer zwei Farben? Die Antwort: Ja.

Man geht von einer zulässigen Färbung mit Rot und Grau aus. Auf der einen Seite einer neuen blauen Linie bleibt alles, wie es war. Auf der anderen Seite werden Rot und Grau vertauscht. Fertig! So haben es auch die Kartografen der Scheibenwelt gemacht. Zwei Farben genügen. Bei normalen Karten und bei Globen gilt aber der Vierfarbensatz.

In anderen Welten gelten andere Gesetze. In einer Ringwelt (kleines Foto) - Mathematiker nennen so etwas einen Torus - gilt ein Siebenfarbensatz.

Und auf dem berühmten Möbiusband (großes Foto) gilt ein Sechsfarbensatz. Erstaunlicherweise hat man die Beweise dieser Sätze ohne Computerhilfe führen können.

Auf einen Blick

43 SZ-Leser haben bei der Mathe-Aufgabe von Rainer Roos mitgemacht. Darunter auch wieder eine Reihe von Schülern, unter anderem die Klasse 7fz der Marienschule in Saarbrücken.

Aus allen Einsendungen hat die Glücksfee der SZ-Redaktion zehn Gewinner gezogen. Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Erlebnisbad Schaumberg in Tholey, gestiftet vom Erlebnisbad und der Gemeinde.

Gewonnen haben bei der jüngsten Mathe-Aufgabe von Rainer Roos je einen Gutschein: Wolfgang Egler (Schmelz), Dieter Saar (Saarbrücken), Reinhold Keller (Freisen), Paul und Cornelia Aatz (Limbach), Bert Zilles (Mandelbachtal), Richard Kutzky (Wadgassen), Peter Hans (Alsweiler) Willibald Steffen (Lebach), Sophia Mohr (Bonn), Laura Hame (Auersmacher). red