Mathe macht Spaß Jede Menge Ausrufezeichen ! ! ! ! !
Neunkirchen · In der jüngsten Mathe-Aufgabe von Rainer Roos ging es um Fakultäten und viele Nullen.
Sie erinnern sich der letzten Aufgabe? Es ging um Fakultäten, Zahlen mit Ausrufezeichen, 6! zum Beispiel. 6! bedeutet das Produkt der ersten sechs natürlichen Zahlen: 1∙2∙3∙4∙5∙6. Macht 720. Das kann man für jede natürliche Zahl n machen: n! ist das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen: n! = 1∙2∙3∙….(n-2) ∙ (n-1) ∙ n. Diese speziellen Produkte treten in vielen Bereichen der Mathematik auf, zum Beispiel in der Analysis und der Wahrscheinlichkeitstheorie.
Unsere erste Aufgabe war ganz einfach: Erstellen Sie eine Tabelle mit den Fakultäten der ersten zehn Zahlen. Das war einfach, das Ergebnis sehen Sie in Abbildung 1.
Wenn Sie von Hand gerechnet haben, werden Sie sicher bemerkt haben, dass man zum Beispiel bei der Berechnung von 6! nicht ganz von vorn anfangen muss, wenn man 5! schon berechnet hat: 6! = 6∙ 5! = 6∙120 = 720.
Bei der zweiten Aufgabe ging es um die Berechnung von 1000!/998!. Das ist der Quotient von zwei riesigen Zahlen, der Zähler hat 2568 Stellen, der Nenner 2561. Das schafft kein Taschenrechner. Obwohl es ganz einfach ist: 1000! ist das Produkt der ersten 1000 Zahlen, 998! das Produkt der ersten 998 Zahlen. Bei 1000!/998! kürzt sich fast alles weg, es bleibt nur noch 999 ∙ 1000, also ist 999 000 das Ergebnis. In der Abbildung 2 können Sie ganz genau sehen, wie das funktioniert.
Bei der dritten Aufgabe sollten Sie alle Zahlen finden, deren Fakultät mit genau drei Nullen endet. Man kann dies ausprobieren oder auch direkt angehen: Eine Null am Ende bedeutet einen Faktor 10 in dem Produkt der Zahlen. Da 10 = 2 ∙ 5, muss man nach den Faktoren 2 und 5 in den Zahlen des Produktes suchen. Zweien gibt es genügend viele, da jede zweite Zahl gerade ist. Durch 5 teilbar ist nur jede fünfte Zahl. Daher bestimmt die Anzahl der Fünfen die Anzahl der Nullen am Ende. Bei 15! hat man zum ersten Mal dreimal den Faktor 5 (in 5, 10, 15), also endet 15! mit genau drei Nullen. Bis 19! kommen keine Fünfen hinzu, also haben 15!, 16!, 17!, 18!, 19! genau drei Nullen am Ende. 20! endet mit vier Nullen.
Bei der vierten Aufgabe schließlich ging es um die Anzahl der Nullen bei 200!. Auch hier muss man nur zählen, wie oft der Faktor 5 in den Zahlen bis 200 vorkommt. In jeder der Zahlen 5,10, 15, …190, 195, 200, steckt eine Fünf, das sind 40 Fälle; dazu kommen acht Zahlen mit zwei Fünfen als Faktor: 25, 50, 75, …, 200. Und eine Zahl mit drei Fünfen: 125. Die Gesamtzahl der Fünfen und damit die Gesamtzahl der Nullen am Ende ist 40 + 8 +1, also 49.
Und ganz am Ende war etwas Persönliches: Die Bitte um Hilfe bei der Suche nach einer Zahl, deren Fakultät mit genau 42 Nullen endet. Keine Leserin, kein Leser konnte helfen. 170! hat wie 171!, …, 174! 41 Nullen am Ende, 175! hat 44 Nullen am Ende. Vielleicht hilft hier nur Magie, wie bei dem beliebten und berühmten Zauberer Harry Potter: Bahnsteig 9 ¾, vielleicht hier 173 ½!
