Ganzen Zahlen die Wurzel ziehen
Es ging um Quadrate und Wurzeln, um Zahlen, die getrennt wurden. Dies bildete den Hintergrund für die jüngste Mathe-Aufgabe von Professor Rainer Roos. Möglichkeiten, auf die richtige Lösung zu kommen, gab es mehrere. Die stellt Rainer Roos hier dar.
Sie erinnern sich der letzten Aufgaben? Es fing ganz harmlos an, es ging um ganze Zahlen:
a = 1 200 345 606 573 534 562 064 562 ist keine Quadratzahl. Ihre erste Aufgabe: Warum?
Lösungen: Es gibt viele Möglichkeiten. Man kann schriftlich die Wurzel aus a ziehen und überprüfen, ob eine ganze Zahl herauskommt. Wenn man es kann. Vor langer Zeit war dies Obertertiastoff. Wenig verlockend bei einer Zahl mit 25 Stellen. Aber ganz gut als Buße für Völlerei an Weihnachten. Es kommt keine ganze Zahl heraus.
Man kann es mit Computerhilfe versuchen. Standardprogramme stoßen schnell an ihre Grenzen, Tabellenkalkulationen verschlucken sich an so großen Zahlen. Profiprogramme wie Maple oder Maxima machen dies ganz locker. Wurzel a ist keine ganze Zahl.
Es geht viel einfacher. Quadrate ganzer Zahlen haben keine beliebigen Endziffern, nur 0, 1, 4, 9, 6, 5 sind möglich. Sie können dies leicht überprüfen. Eine 2 ist nicht drin.
Und dann kam Dudeneys Aufgabe, ein richtiger Hammer. Im Kern das Folgende: Gesucht sind vier verschiedene Ziffern a, b, c, d mit abcd = (ab + bc){+2}. Dabei bedeutet abcd: 1000a + 100b + 10c + d. Dudeney gab eine Lösung an, Sie sehen sie im Bild oben: 3025 = (30 + 25){+2} .
Lösungen: Es geht um vierstellige Zahlen; führende Nullen sind zugelassen wie 347 = 0347. Die vierstellige Zahl ist eine Quadratzahl, das schränkt die Möglichkeiten ein. Es gibt nur 99 Zahlen, deren Quadrat höchstens vierstellig ist. Man kann diese 99 Möglichkeiten ausprobieren. Von Hand ist dies mühselig, mit einer Tabellenkalkulation ein Klacks. Man erhält als weitere Lösung 9801. Lässt man die Bedingung fallen, dass alle Ziffern verschieden sein sollen, so gibt es weitere Lösungen: 0000, 0001, 2025.
Man kann aber auch die Eigenschaften von Quadratzahlen nutzen: Als Endziffern sind nur 0, 1, 4, 6, 9, 5 möglich. Jeder einzelne Fall wird untersucht, das ist mühselig, das Ganze dauert etwa so lange wie eine Fakultätsratssitzung, drei Stunden. Mit Neunerproben, Quersummen geht es etwas schneller. Dudeneys schnelle Lösung finden Sie in seinem Buch "Amusements in Mathematics", Problem 113. Nach meinem Geschmack schlecht erklärt, urteilen Sie selbst. Sie finden das Buch im Internet beim Projekt Gutenberg unter
www.gutenberg.org/files/16713/16713-h/16713-h.htm
Wenn Sie mehr Mathematik wollen: Am Dienstag, 14. Januar, gibt es in Tholey wieder "Mathematik für Alle". Diesmal "Rechenkünstler, wie machen die das?". Beginn im Rathaus Tholey ist um 19.30 Uhr. Der Eintritt zu dem gemeinsamen Termin mit der Gemeinde Tholey ist wie immer frei. Und am Freitag, 24. Januar, wird im Big Eppel in Eppelborn ein richtiges Mathematikfest gefeiert: Eine Lange Nacht der Mathematik: Mathematik anders, spannend, vergnüglich und vor allem verständlich. Mehr darüber demnächst in der SZ.
Zum Thema:
Auf einen Blick39 SZ-Leser haben sich an der jüngsten Mathe-Aufgabe von Rainer Roos beteiligt. Aus allen Einsendungen hat die Glücksfee zehn Gewinner gezogen. Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Erlebnisbad Schaumberg in Tholey, gestiftet vom Erlebnisbad und der Gemeinde. Gewonnen haben: Andreas Brachmann aus Tholey, Klaus Bier aus Schiffweiler, Thomas Becker aus Marpingen, Mathilde Bies aus Schiffweiler, Gisela Fabing aus Lebach, Walter Bub aus Überherrn, Willibald Steffen aus Lebach, Thomas Zeiske aus Bous, Annika Roth aus Homburg und Peter Hans aus Marpingen. vf
