| 20:36 Uhr

Mathe macht Spaß
Das Einmaleins hat einen großen Stellenwert

Eine Leidenschaft von Rainer Roos ist die Mathematik.
Eine Leidenschaft von Rainer Roos ist die Mathematik. FOTO: Rainer Roos
Neunkirchen. Das kleine Einmaleins können die meisten von uns im Schlaf. Auch im Fünfersystem, oder im Zwölfersystem? Wohl kaum. Aber auch damit kann man rechnen, sagt Mathe-Professor Rainer Roos. Er spricht von Stellenwertsystemen.

Können Sie römische Zahlen lesen? Jene seltsamen Ketten aus den Buchstaben I, V, X, L, C, M, die jeweils Zahlen entsprechen und die, je nachdem wo sie stehen, addiert oder subtrahiert werden. Machen wir die Probe, das ist unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: Welche Zahl ist mit MDCCCCLXXXIX gemeint?


Sie kommen also mit römischen Zahlen klar. Haben Sie schon einmal versucht, römische Zahlen schriftlich zu addieren oder gar zu multiplizieren? Vielleicht so etwas:



   M M D C C C C L IV

+ M C C  L X X  X V III

________________

Da werden schon einfachste Rechenoperationen schwierig.

Ganz simpel wird die Aufgabe, wenn man das Dezimalsystem mit arabischen Ziffern benutzt:

   2 9 5 4

+ 1 2 8 8

________

   4 2 4 2

Man rechnet positionsweise mit Stellenübertrag von rechts nach links. Dies funktioniert, weil das Dezimalsystem ein Stellenwertsystem ist, hier zur Basis 10. Dazu ein Beispiel:

3078 bedeutet: 3∙1000 + 0∙100 + 7∙10 + 8∙1 oder in Potenzschreibweise: 3078 = 3∙103 + 0∙102 + 7∙101 + 8∙100. Die Faktoren bei den Zehnerpotenzen sind immer ganze Zahlen zwischen 0 und 9. Mit dieser Darstellung sieht die vorherige Rechnung so aus:

   2∙103 + 9∙102 + 5∙101 + 4∙100

+ 1∙103 + 2∙102 + 8∙101 + 8∙100

____________________________

   4∙103 + 2∙102 + 4∙101 + 2∙100

Man erkennt, wie die schriftliche Addition funktioniert.

Wir rechnen im Dezimalsystem, mit Potenzen von 10. Das muss man nicht: Jede ganze Zahl b > 1 kann ganz analog zur Zahldarstellung benutzt werden. Hierzu ein Beispiel. Die Dezimalzahl 298, wir schreiben dafür kurz 29810, soll mit b = 5, also im Fünfersystem, dargestellt werden. Die kleine tiefer gestellte Zahl (hier die 10) zeigt an, in welchem Stellenwertsystem wir rechnen, hier also im Dezimalsystem. Das Umrechnung ins Fünfersystem geht mit Hilfe von Division mit Rest:

298 : 5 =   59 Rest 3

    59: 5  =   11 Rest 4

    11 : 5 =     2 Rest 1

      2 : 5 =     0 Rest 2

Es folgt: 29810 = 3∙50 + 4∙51 + 1∙52 + 2∙53 = 21435.

Als Beispiel für Rechnungen im Fünfersystem zeigen wir in Grafik 1 das kleine Einmaleins im Fünfersystem.

Unsere zweite Bitte, Ihre zweite Aufgabe: Stellen Sie 298 auch im Dreier- und Sechsersystem dar. Erstellen Sie Einmaleinstabellen.

Und gleich unsere dritte Bitte, Ihre dritte Aufgabe: Stellen Sie 64 – 1 und 65 – 1 im Sechsersystem dar. Erstaunt? Gibt es so etwas auch im Zehnersystem?

Das kleinste b, die kleinste Basis, ist b = 2. Das entstehende System heißt Zweier- oder Dualsystem. Die Idee ist uralt, der große Gottfried Wilhelm Leibniz hat als erster das System vollständig ausgearbeitet in  seinem Bericht an die Académie Royale (Explication de l’Arithmétique Binaire“, 1703).

Das Dualsystem ist grundlegend für die Digitaltechnik. Bei b = 2 gibt es nur zwei Ziffern: 0 und 1. Ansonsten alles wie vorher.

Unsere vierte Bitte, Ihre vierte Aufgabe: Stellen Sie 29810 auch im Dualsystem dar. Ist Ihnen aufgefallen, wie lang die Darstellung im Dualsystem wird?

Neben dem Dualsystem werden in der Digitaltechnik weitere Basen benutzt, immer Potenzen von 2, also 4, 8, 16, …

Besonders wichtig ist das Sechzehnersystem, das Hexadezimalsystem. Hier benötigt man 16 Ziffern zur Zahldarstellung. Zu den normalen Ziffern 0, 1, 2, …, 9,  kommen dann noch die Buchstaben A, B, C, D, E, F hinzu. A steht für 10,  B für 11, …, F für 15.

Ein Beispiel: 2EA16 = 10 + 14∙16 + 2∙162 = 74610.

Unsere fünfte Bitte, Ihre fünfte Aufgabe: Stellen Sie 29810 im Hexadezimalsystem dar. Am Ende noch eine kleine Frage außer Konkurrenz. Sie wissen natürlich, dass nicht nur ganze Zahlen im Dezimalsystem dargestellt werden können, sondern jede Zahl, Brüche, Wurzeln, auch Pi und solche Sachen. Dabei gibt es manchmal unendlich viele Dezimalstellen, zum Beispiel bei periodischen Dezimalbrüchen. Meine Studies streiten über die periodische Dezimalzahl 0,999999……: Ist dies eine seltsame Darstellung der Zahl 1, also 1, oder ist es eine Zahl nahe bei 1, aber ein klitzeklein wenig kleiner? Können Sie helfen? Wenn Sie mehr über Zahlen und Zahldarstellungen erfahren wollen, auch über kulturelle Hintergründe, dann empfehlen wir Georges Ifrahs Klassiker „Universalgeschichte der Zahlen“.

15WND-Kleines_Einmaleins
15WND-Kleines_Einmaleins FOTO: SZ / Steffen, Michael
Das kleine Einmaleins des Rechnens will gelernt sein, da hilft auch mal das Zählen mit den Fingern.
Das kleine Einmaleins des Rechnens will gelernt sein, da hilft auch mal das Zählen mit den Fingern. FOTO: picture alliance / dpa / Patrick Pleul