1. Saarland

Auf das richtige Mittel kommt es an

Auf das richtige Mittel kommt es an

Kurz zur Erinnerung die Aufgabenstellung: Ein Manager legt seine Vierjahresbilanz vor: "Bei meinem Amtsantritt waren wir schlecht positioniert. Deshalb haben wir in den ersten beiden Jahren unter meiner Führung jeweils 40 Prozent weniger Gewinn als im Vorjahr gemacht. Dann kam der Erfolg: Wir haben in den kommenden beiden Jahren jeweils 50 Prozent mehr Gewinn als im Vorjahr erzielt

Kurz zur Erinnerung die Aufgabenstellung: Ein Manager legt seine Vierjahresbilanz vor: "Bei meinem Amtsantritt waren wir schlecht positioniert. Deshalb haben wir in den ersten beiden Jahren unter meiner Führung jeweils 40 Prozent weniger Gewinn als im Vorjahr gemacht. Dann kam der Erfolg: Wir haben in den kommenden beiden Jahren jeweils 50 Prozent mehr Gewinn als im Vorjahr erzielt. Sie sehen, jetzt stehen wir deutlich besser da als bei meinem Amtsantritt, wir haben im Mittel unter meiner Führung in jedem Jahr 5 Prozent zugelegt, leicht nachzurechnen: Zweimal vierzig Miese, zweimal 50 Gute, macht insgesamt 20 Gute in vier Jahren, also 5 Gute pro Jahr".Ein kritischer Versicherungsmathematiker forderte, den Manager zu entlassen, wurde aber nicht beachtet. Hatte der Mathematiker Recht? Wie groß war der Gewinn nach vier Jahren neuen Managements? (Gemessen am Gewinn im letzten Jahr des alten Managements). Und als schwieriges Zusatzproblem, außerhalb der Konkurrenz: Wie groß war die mittlere jährliche "Gewinnrate" während dieser vier Jahre?Nun zur Lösung: Der Versicherungs-Mathematiker hatte Recht, das Unternehmen steht nach vier Jahren schlechter da als zu Beginn: Nehmen wir der Einfachheit halber an, der Gewinn betrug im letzten Jahr vor Amtsantritt des Managers 1000 Euro, Sie können genauso gut x Euro annehmen. Im ersten Jahr des neuen Besens gibt es 40 Prozent Verlust, also 600 Euro als Gewinn. Im zweiten Jahr folgend wieder 40 Prozent Verlust, jetzt aber von 600 Euro ausgehend, also schrumpfte der Gewinn auf 360 Euro.Im dritten Jahr folgen 50 Prozent Zuwachs, auf der Basis von 360 Euro:: Das macht dann 540 Euro. Und im vierten Jahr wieder 50 Prozent Zuwachs, auf der Basis von 540 Euro: Das ergibt 810 Euro, deutlich weniger als bei Amtsantritt!Genauso geht die Rechnung, wenn man mit x Euro Gewinn vor Amtsantritt des neuen Managers rechnet: Man erhält nach vier Jahren einen Gewinn von 0,81 x Euro, deutlich weniger als x. Im jährlichen Mittel wurde also ein Verlust erwirtschaftet. Nun zur Frage, wie viel Prozent im Mittel pro Jahr, bezogen auf das Vorjahr, erwirtschaftet wurden. Bleiben wir bei den 1000 Euro am Anfang. Wir sind es im Alltag gewohnt, mit Prozenten zu rechnen. Für die Lösung der Aufgabe ist es einfacher, mit Anteilen zu rechnen. 80 Prozent entsprechen zum Beispiel einem Anteil von 0,8. 80 Prozent von 1000 ist 800, also 0,8 · 1000. Oder in einem anderen Beispiel: 112 Prozent von 1000 ist 1120, also 1,12· 1000.Wir rechnen also mit Anteilen: Die gesuchte Anteilzahl soll a heißen. In vier Jahren jeweils ein Anteil von a muss dann 810 ergeben: Im ersten Jahr: Gewinn = a · 1000. Im zweiten Jahr beträgt der Gewinn, ausgehend von a · 1000 im Vorjahr, a · (a·1000). Und so geht es weiter: Im dritten Jahr beträgt der Gewinn, jetzt ausgehend von a·a·1000 dann a·(a· a·1000). Schließlich im vierten Jahr beträgt der Gewinn a·(a·a· a·1000). Dies muss 810 ergeben: Daher: a·a·a· a·1000 = 810. Mit Potenzschreibweise kann man dies vereinfachen: a4 (an hoch vier) ·1000 = 810. Gesucht ist a. Dazu muss man a isolieren. Erster Schritt: Teile die Gleichung auf beiden Seiten durch 1000. Man erhält:a4 (a hoch vier) = 0,81. Das sieht schon besser aus: Nun muss die 4. Potenz bei a verschwinden. Eine zweite Potenz verschwindet durch einfaches Wurzelziehen, eine vierte Potenz ganz analog, man muss halt die vierte Wurzel ziehen: a = 4. Wurzel von 0,81. Mit einem Taschenrechner, sofern man ihn bedienen kann, oder einem Programm wie Excel erhält man a = 0,949. Mathematiker nennen diese Mittelbildung geometrisches Mittel.Was bedeutet diese Anteilzahl a = 0,949? In den vier Jahren wurden im Mittel 94, 9 % des Vorjahres erwirtschaftet, in jedem Jahr wurden also etwas mehr als 5 Prozent Verlust eingefahren. Ganz schön kompliziert diese Mittelbildung mit Wurzelziehen. Aber keineswegs akademisch. Immer wenn Größen auf das Vorjahr bezogen werden, ist dieses Verfahren angemessen. Dies ist zum Beispiel bei Lohnerhöhungen und Inflationsraten der Fall. Sie werden auf das Vorjahr bezogen. Aber aufgepasst: Viele wenden auch in diesen Situationen das normale Mittel an, sie bilden die Summe der Zahlen und dividieren das Ergebnis durch die Anzahl der Zahlen. Und das ist falsch.Das geometrische Mittel übertrifft nie das normale Mittel, Sie haben es im Beispiel gesehen. Der Manager errechnete mit dem normalen Mittel 5 Prozent Gewinn pro Jahr und glänzte damit vor seinen Aktionären, in Wirklichkeit hatte er 5 Prozent Verlust pro Jahr gemacht. Er wurde zu Recht gefeuert.

Auf einen BlickDen Gesamtverlust von 19 Prozent nach vier Jahren haben alle 35 SZ-Leser richtig berechnet. Was aber die mittlere jährliche Gewinnrate angeht, da haben die meisten andere Lösungswege als Rainer Roos gesucht. Am häufigsten wurde die 19 Prozent durch vier (Jahre) geteilt. Die Gewinner: Die Gemeinde Tholey, die gemeinsam mit Rainer Roos im Jahr der Mathematik eine Veranstaltungsreihe durchführt, hat für die Teilnehmer des Matherätsels zehn Gutscheine zu zehn Euro für das Schaumbergbad Tholey gestiftet. Die SZ-Glücksfee hat aus allen Einsendungen folgende Gewinner gezogen, die ihren Gutschein in den nächsten Tagen per Post bekommen: Christina Loch aus Hasborn, Klaus Zeisig aus Nonnweiler, Reinhold Keller aus Freisen, Andrea Demuth aus St. Wendel, Walter Martin aus St. Wendel, Dieter Fleck aus Tholey, Simon Paul aus Freisen, Peter Wagner aus Nohfelden, Florian Hippchen aus Oberkirchen, Markus Ames aus Marpingen. vf