Geboren wurde er am 17. April 1930 in London, mit einem Wirtschaftswissenschaftler als Vater und einer sozialistischen Bürgermeisterin als Mutter. Auf einer Privatschule lernte er Geige zu spielen. Nur dem Zufall ist es zu verdanken, dass er schließlich Bläser wurde: Ein Posaunist bot ihm ein Instrument an, und Barber hatte gerade genug Geld in der Tasche. Mit 19 gründete er seine erste Jazzband, er studierte Posaune und Kontrabass an der berühmten „Guildhall School of Music and Drama“ in London. „Improvisation ist Teil der Musik, aber man muss trotzdem die richtigen Noten spielen“, erklärte der klassisch ausgebildete Musiker der Zeitschrift „Countrylife“. „In einigen Londoner Nachtclubs wurde so etwas wie Jazz gespielt“, erinnerte sich Barber an die Zeit zwischen den beiden Weltkriegen. „Amerikanische Jazzmusiker arbeiteten im Orchester an Orten wie dem Savoy.“ Blues-Musik fand aber keine größere Anerkennung. Das änderte sich in den 1950er Jahren.

Damals war Barbers Band in Großbritannien so bekannt wie die Beatles in den Sechzigern. Seine Version von Sidney Bechets „Petite Fleur“ wurde ein großer Hit im Vereinigten Königreich. Bereits sein Debütalbum „New Orleans Joys“ (1954) hatte das Stück „Rock Island Line“ enthalten, das dem Sänger Lonnie Donegan zu einer Solo-Karriere verhalf und Barber in den USA bekannt machte.

Von dort brachte Barber viele afroamerikanische Blues-Legenden nach Großbritannien. Neben Muddy Waters traten auch Louis Jordan, Sonny Boy Williamson und die Gospelsängerin Sister Rosetta Tharpe mit Barbers Band auf. Er organisierte nicht nur ihre Tourneen, sondern finanzierte sie oft auch.

E-Gitarren waren damals in Jazzclubs als „Rock ‚n‘ Roll“ verpönt – doch Barber verhalf über Muddy Waters der E-Gitarre zum Einzug in die britische Rhythm-and-Blues-Szene. Das brachte den traditionellen Jazz bald ins Hintertreffen. Der Posaunist und seine Band verloren an Popularität, wurden dafür aber im europäischen Ausland umso bekannter – vor allem in Deutschland, wo sie die meisten Konzerte spielten.