Ausweg aus Zahlenkolonnen gefunden?
St Wendel · Unverschämt! Da präsentiert unser uns eigentlich wohlgesonnener Mathe-Prof zuletzt eine Aufgabe, die mit Zahlen herumhantiert, die auf kein Blatt Papier passen. Mit 2568 Stellen. Und trotzdem hatten SZ-Knobler Lösungen parat. Respekt. Ob sie stimmen? Das steht hier ...
Sie erinnern sich der letzten Aufgabe, Sie erinnern sich an den großen iranischen Mathematiker Al-Khwarizmi?
Es ging um die Neunerprobe, Quersummen, vollständige Quersummen. {rahkv} Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: Eine Zahl und ihre Quersumme haben bei Division durch 9 stets den gleichen Rest. Gefragt war nach einer Begründung. Die Idee: Man braucht nur zu beweisen, dass (Zahl - Quersumme) immer durch 9 teilbar ist. Wir zeigen dies an einem repräsentativen Beispiel:
Die Zahl sei x=641, also x=6·100+4·10+1.
Die hoffentlich selbsterklärende Rechnung hier: 641-q(641) =6·100+4·10+1-(6+4+1) =(6·100-6)+(4·10-4)+(1-1) =6·99+4·9 (Zahl-Quersumme) ist durch 9 teilbar.
Beim Rest der Aufgaben ging es um die vollständige Quersumme: Damit gemeint ist Quersummenbildung, bis man im Einerbereich landet. Im Englischen heißt vollständige Quersumme "digital root", daher die Bezeichnung dr. {rahkv} Unsere zweite Bitte, Ihre zweite Aufgabe: Berechnen Sie dr(9988776644). Welchen Rest hat diese Zahl bei Division durch 9? Die Lösung: Die Quersumme der Zahl ist 68, deren Quersumme ist 14, deren Quersumme ist 5, also dr(9988776644)=5; die ursprüngliche Zahl hat bei Division durch 9 den Rest 5. {rahkv} Unsere dritte, leicht unverschämte Bitte, Ihre dritte Aufgabe: Berechnen Sie dr(1000!+1). Leicht unverschämt, weil 1000! unverschämt groß ist. 1000! ist das Produkt der ersten 1000 Zahlen, eine Zahl mit 2568 Stellen, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Aber 1000! ist durch 9 teilbar, sogar viele Male. Also hat 1000!+1 bei Division durch 9 den Rest 1 und daher dr(1000!+1)=1. {rahkv} Dann gab es noch einen Nachschlag, Sie können dies wörtlich nehmen. Die vollständige Quersumme einer Primzahl (>3) ist stets von 3, 6, 9 verschieden. Der Grund: Bei den Werten 3, 6, 9 wäre die Zahl durch 3 teilbar, also keine Primzahl. Und: Die vollständige Quersumme einer Quadratzahl ist eine der Zahlen 1, 4, 7, 9. Der Grund: die Regel dr(a·b)=dr(dr(a)·dr(b)).
Für a=b erhält man: dr(a{+2}) = dr(dr(a)·dr(a)). dr(a) kann nur die Werte 1, 2, …9 annehmen. Da kommt 1, 4, 7 oder 9 heraus. Mit den Kubikzahlen geht es analog.
Am Ende eine Bemerkung: Wir haben mit einem iranischen, muslimischen Mathematiker begonnen, mit Al-Khwarizmi. Wir verdanken ihm das Dezimalsystem. Das ist lange her. Heute gilt es, eine iranische Mathematikerin zu ehren, Maryam Mirzakhani. Sie hat im August 2014 die Fieldsmedaille erhalten, die höchste Auszeichnung in Mathematik, so etwas wie der Nobelpreis in anderen Wissenschaften. Sie ist die erste Frau, der diese Auszeichnung verliehen wurde.
Zum Thema:
Auf einen BlickZahlreiche SZ-Leser beteiligten sich an Rainer Roos' Mathe-Aufgabe. Aus den Einsendungen zog die Glücksfee zehn Gewinner. Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro fürs Tholeyer Hallenbad, von der Gemeinde gestiftet. Die Gewinner: Timo Brück (Dirmingen), Otmane Amghar (Tholey ), Julian Groß (Tholey ), Thomas Zeiske (Bous), Klaus Bier (Schiffweiler), Eva Förster (Karlsruhe), Margit Mohr (Saarbrücken), Walter Bub (Überherrn), Marliese Walter (Hasborn), Birgit Reimsbach (Saarlouis). red
