Sie erinnern sich der letzten Aufgaben? Es ging zuerst um das Ding, das seinem Erfinder so großen Verdruss einbrachte. Das Ding, wir nannten es C, ist ein geometrisches Objekt. Es ist ein Teil der Zahlengeraden, seine Konstruktion ist einfach. Orientieren Sie sich an der ersten Grafik .

Starten Sie mit dem Intervall [0,1], das sind alle Zahlen zwischen 0 und 1 einschließlich der Grenzen. Nehmen Sie das mittlere Drittel heraus. Es bleiben zwei Teilintervalle der Länge 1/3. Löschen Sie in beiden jeweils das mittlere Drittel. In dieser Weise geht es weiter, unendlich oft. Das Endprodukt ist dann das Objekt C. In der ersten Grafik sind die ersten vier Schritte des Verfahrens dargestellt. {rahkv} Unsere ersten beiden Fragen, Ihre ersten beiden Aufgaben: Wie groß ist die Gesamtlänge der Teilstrecken nach dem 1., 2., 3., 4., (…) Schritt, und wie groß ist die Gesamtlänge von C? Die Lösung: Nach jedem Schritt bleiben nur noch 2/3 der Gesamtlänge des Vorgängers. Daher erhält man die Gesamtlängen die Folge (2/3){+1}, (2/3){+2}, (2/3){+3}, (…). Am Ende, bei C, bleibt nichts mehr übrig, die Länge ist 0, da die Folge (2/3){+1}, (2/3){+2}, (2/3){+3}, (…) immer kleiner wird und jede positive Zahl irgendwann unterschreitet. Mathematiker sprechen von einer Nullfolge. {rahkv} C enthält unendlich viele Punkte, da jeder Punkt, der im Laufe der Konstruktion Randpunkt wurde, auch in C ist. Und in jedem Schritt verdoppelt sich die Anzahl der Randpunkte, also gibt es unendlich viele. C enthält kein Intervall, also keine Strecke, da die Gesamtlänge von C gleich 0 ist. Das war die Antwort auf die dritte Frage.

C hat viele überraschende Eigenschaften. Vielleicht am verrücktesten ist das Folgende: C, obwohl doch nur Staub, enthält ebenso viele Punkte enthält wie das Ausgangsintervall [0,1]. Dies widerspricht jeder Intuition. {rahkv} Wir fragten dann nach dem Schöpfer dieser seltsamen Menge C. Georg Cantor hat sich diese Menge ausgedacht und 1883 in den Mathematischen Annalen darüber berichtet. Georg Cantors Name wird für immer mit der Entwicklung der Mengenlehre verbunden bleiben, darüber hinaus gilt er als der Mathematiker des Unendlichen.* {rahkv} Bei den letzten beiden Aufgaben ging es um das Sierpinski-Dreieck. Ausgangspunkt ist ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge a. Dieses Dreieck wird in vier gleichseitige Dreiecke zerlegt, das mittlere Dreieck wird entfernt. Es bleiben drei Dreiecke, aus denen dann jeweils das mittlere Dreieck entfernt wird. Und so geht es weiter, unendlich oft. Das Endprodukt ist S. In der zweiten Grafik sehen Sie die ersten drei Schritte zur Konstruktion von S.

Gefragt war nach der Gesamtfläche der schwarzen Dreiecke in jedem Schritt und nach der Gesamtlänge der Ränder der Dreiecke. Die Lösung: Das Ausgangsdreieck habe den Flächeninhalt F. Nach jedem Schritt bleiben nur noch {+3}/{-4}der Vorgängerfläche. Man erhält daher die Folge F, {+3}/{-4} F, ({+3}/{-4}){+2} F, ({+3}/{-4}){+3} F, (…). Diese Zahlenfolge geht gegen 0, die Fläche von S ist 0.

Bei den Rändern sieht es so aus: Das Ausgangsdreieck hat die Länge L=3a, In jedem Schritt wird die Länge mit 3/2 multipliziert, man erhält daher die Folge L, 3/2 L, (3/2){+2} L, (3/2){+3} L, (…). Diese Zahlenfolge geht gegen unendlich. S hat also einen unendlich langen Rand (oder so ähnlich) und den Flächeninhalt 0.

Seltsam: S ist ein Fraktal, und Fraktale sind seltsam. Komplizierte Geometrie , Flächeninhalt 0, unendlich langer Rand, kommt in diesen Kreisen öfter vor.

Übrigens: Mehr über den Wissenschaftler Georg Cantor und die Mathematik des Unendlichen können Sie bei einem leider verstorbenen Star der amerikanischen Gegenwartsliteratur erfahren: David Foster Wallace: "Die Entdeckung des Unendlichen: Georg Cantor und die Welt der Mathematik"

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Auf einen BlickAus allen Einsendungen wurden die Gewinner gezogen. Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Tholeyer Hallenbad, die die Gemeinde bereitstellt.Die Gewinner: Thomas Fabing (Lebach), Eberhard Müller (Niederlinxweiler), Timo Brück (Dirmingen), Manfred Müller-Späth (Ahrensburg),Alban Hoffmann (St. Wendel), Willibald Steffen (Lebach), Anna-Maria Maurer (Neunkirchen), Peter Fries (Einöd), Gerd Müller (Hasborn-Dautweiler), Berthold Schwarz (Saarlouis). red