Die richtige Linie weist den Weg

Homburg · Geometrische Aufgaben lassen sich häufig mit den richtigen Hilfslinien lösen. Das sagt Mathe-Professor Rainer Roos. Nur muss man wissen, welches die richtigen sind. Auch bei den jüngsten Aufgaben aus der japanischen Tempelmathematik. Hier die Auflösung.

Sie erinnern sich der letzten Aufgaben? Tempelgeometrie aus Japan, aus der goldenen Edozeit, 1603 bis 1867. Kleine Holztäfelchen mit mathematischen, meist geometrischen Aufgaben wurden in Shinto-Schreinen und buddhistischen Tempeln als Herausforderung für die Gläubigen aufgehängt.

Zur ersten Aufgabe: Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 und ein Kreis in dem Quadrat, der die Diagonale und zwei Seiten des Quadrats berührt, wie in Grafik 1. Unsere erste Frage, Ihre erste Aufgabe: Welchen Radius besitzt der Kreis?

Geometrische Aufgaben lassen sich häufig dadurch lösen, dass man die "richtigen" Hilfslinien einzeichnet. Dann wird alles ganz einfach wie in Grafik 2. Der gesuchte Radius ist gleich der Länge der roten Strecke. Da die Diagonale im Quadrat die Länge wurzel(2) besitzt, folgt: r = 1 - 1/2 · wurzel(2).

Auch bei der zweiten Aufgabe ging es um Radien. Wir präsentieren die Aufgabe in einer Darstellung mit Hilfslinien. Ausgangspunkt war wieder ein Quadrat mit der Seitenlänge 1. Zwei Viertelkreise bilden zwei Spitzbögen. In diese werden Kreise eingepasst, wie Grafik 3. Gesucht waren die Radien dieser Kreise. Der Clou bei dieser Aufgabe: Die Senkrechte auf der Tangente an einen Kreis geht durch dessen Mittelpunkt. Bei zwei Kreisen, die sich berühren, liegen daher beide Mittelpunkte auf dieser Senkrechten. Ist R der Radius des großen Kreises, so folgt nach Pythagoras im roten Dreieck: (1 - R){+2} = 1/4 + R2. Man erhält R = 3/8.

Ist r der Radius des kleinen Kreises, so erhält man mit dem blauen Dreieck: (1 + r){+2} = (1 - r){+2} + 1/4. Es folgt: r = 1/16.

Schließlich die dritte Aufgabe: Drei Kreise mit dem Radius 1, die sich wechselweise berühren, wie in Grafik 4. Gesucht war der Flächeninhalt der inneren weißen Figur.

Die Lösung: Die Mittelpunkte der Kreise bilden ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 2. Den Rest entnimmt man Grafik 5. So wird die Lösung einfach. F sei der gesuchte Flächeninhalt. Dann gilt: F = Dreiecksfläche - 3 · Kreissektorfläche. Daher: F = wurzel(3) - 1/2 · Phi.

Das ist alles ganz einfach mit den richtigen Hilfslinien. Aber darauf muss man erst mal kommen. Man kann dies lernen, systematisch lernen. Eine Quelle, meine Quelle: Georg Polyas immer noch unübertroffene Anleitung zum Lösen mathematischer Aufgaben: "Schule des Denkens" aus den vierziger Jahren des vergangenen Jahrhunderts . Das kleine Werk wurde mehr als eine Million Mal verkauft und in siebzehn Sprachen übersetzt.

Mehr über Sangakus können Sie unter unter www.mathematische-basteleien.de/sangaku.htm erfahren.

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Auf einen BlickAus allen Einsendungen hat die Glücksfee zehn Gewinner gezogen. Diese erhalten per Brief einen Gutschein über zehn Euro für das Erlebnisbad Tholey, zur Verfügung gestellt von der Gemeinde und dem Freizeitbad Tholey.Die Gewinner: Jürgen Bonenberger aus Freisen, Bernd Kaiser aus Ottweiler, Birgit Reimsbach aus Saarlouis, Horst Zimmermann aus Ensdorf, Johannes Darsch aus Illingen, Klaus Horn aus Hüttersdorf, Manfred Knapp aus Nohfelden, Manfred Müller-Späth aus Ahrensburg, Iris Pick aus Lebach, Klaus Bier aus Schiffweiler. Herzlichen Glückwunsch. red

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